Номер 7.21, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.21, страница 224.

7.21 a) $4^x + 2^x + x^2 < x^2 + 6;$

б) $27^x + 9^x > 3^x + 6 + 27^x.$

a) Исходное неравенство: $4^x + 2^x + x^2 < x^2 + 6$.
Упростим неравенство, вычтя $x^2$ из обеих частей:
$4^x + 2^x < 6$
Представим $4^x$ как $(2^2)^x = (2^x)^2$. Неравенство примет вид:
$(2^x)^2 + 2^x - 6 < 0$
Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого действительного $x$, то $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство относительно $t$:
$t^2 + t - 6 < 0$
Для решения найдем корни квадратного уравнения $t^2 + t - 6 = 0$.
Используя формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета, находим корни: $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.
Графиком функции $y = t^2 + t - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между корнями, то есть при $-3 < t < 2$.
Теперь учтем ограничение $t > 0$. Объединяя два условия, получаем систему:
$\begin{cases} -3 < t < 2 \\ t > 0 \end{cases}$
Решением этой системы является интервал $0 < t < 2$.
Выполним обратную замену $t = 2^x$:
$0 < 2^x < 2$
Неравенство $2^x > 0$ выполняется для всех $x$. Остается решить неравенство $2^x < 2$.
Запишем 2 как $2^1$:
$2^x < 2^1$
Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^x$ является возрастающей, поэтому при сравнении показателей знак неравенства сохраняется:
$x < 1$
Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

б) Исходное неравенство: $27^x + 9^x > 3^x + 6 + 27^x$.
Упростим неравенство, вычтя $27^x$ из обеих частей:
$9^x > 3^x + 6$
Перенесем все члены в левую часть:
$9^x - 3^x - 6 > 0$
Представим $9^x$ как $(3^2)^x = (3^x)^2$. Неравенство примет вид:
$(3^x)^2 - 3^x - 6 > 0$
Введем замену переменной. Пусть $y = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого действительного $x$, то $y > 0$.
Получаем квадратное неравенство относительно $y$:
$y^2 - y - 6 > 0$
Для решения найдем корни квадратного уравнения $y^2 - y - 6 = 0$.
Используя формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета, находим корни: $y_1 = -2$ и $y_2 = 3$.
Графиком функции $z = y^2 - y - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями, то есть при $y < -2$ или $y > 3$.
Теперь учтем ограничение $y > 0$. Решение $y < -2$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, остается только $y > 3$.
Выполним обратную замену $y = 3^x$:
$3^x > 3$
Запишем 3 как $3^1$:
$3^x > 3^1$
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^x$ является возрастающей, поэтому при сравнении показателей знак неравенства сохраняется:
$x > 1$
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.