Номер 7.18, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.18, страница 224.

7.18° Объясните, почему равносильны неравенства:

а) $x^2 - 2x > -1$ и $x^2 - 2x + 1 > 0;

б) $3x > 6$ и $x > 2;

в) $x^2 < 2x + 1$ и $-x^2 > -2x - 1;

г) $x^2 - 4x + 4 > 0$ и $(x - 2)^2 > 0;

д) $x^2 - 4x + 5 + 2x < 0$ и $x^2 - 2x + 5 < 0;

е) $\sqrt[3]{x} > 2$ и $x > 8;

ж) $x^7 > 3$ и $x > \sqrt[7]{3};

з) $0,1^{x^2 - 2x} > 0,1^x$ и $x^2 - 2x < x;

и) $5^{\sin x} < 5^{\cos x}$ и $\sin x < \cos x.

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Равносильность в данных примерах объясняется тем, что второе неравенство получается из первого с помощью равносильных преобразований.

а) $x^2 - 2x > -1$ и $x^2 - 2x + 1 > 0$

Рассмотрим первое неравенство $x^2 - 2x > -1$. Перенесем $-1$ из правой части в левую, изменив знак на противоположный. Это равносильное преобразование, так как оно сводится к прибавлению одного и того же числа (в данном случае, 1) к обеим частям неравенства.
$x^2 - 2x + 1 > -1 + 1$
$x^2 - 2x + 1 > 0$
Мы получили второе неравенство. Следовательно, данные неравенства равносильны.
Ответ: Второе неравенство получено из первого путем прибавления к обеим его частям числа 1, что является равносильным преобразованием.

б) $3x > 6$ и $x > 2$

Рассмотрим первое неравенство $3x > 6$. Разделим обе части неравенства на положительное число 3. Деление на положительное число является равносильным преобразованием, при котором знак неравенства сохраняется.
$\frac{3x}{3} > \frac{6}{3}$
$x > 2$
Мы получили второе неравенство. Следовательно, данные неравенства равносильны.
Ответ: Второе неравенство получено из первого путем деления обеих его частей на положительное число 3, что является равносильным преобразованием.

в) $x^2 < 2x + 1$ и $-x^2 > -2x - 1$

Рассмотрим первое неравенство $x^2 < 2x + 1$. Умножим обе части неравенства на отрицательное число $-1$. Умножение на отрицательное число является равносильным преобразованием, но при этом знак неравенства меняется на противоположный.
$x^2 \cdot (-1) > (2x + 1) \cdot (-1)$
$-x^2 > -2x - 1$
Мы получили второе неравенство. Следовательно, данные неравенства равносильны.
Ответ: Второе неравенство получено из первого путем умножения обеих его частей на отрицательное число $-1$ с изменением знака неравенства на противоположный, что является равносильным преобразованием.

г) $x^2 - 4x + 4 > 0$ и $(x - 2)^2 > 0$

Рассмотрим левую часть первого неравенства: $x^2 - 4x + 4$. Это выражение является полным квадратом разности. Согласно формуле сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, имеем:
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2$
Таким образом, неравенство $x^2 - 4x + 4 > 0$ можно переписать в виде $(x-2)^2 > 0$. Преобразование выражения по формуле является тождественным, а значит, равносильным.
Ответ: Левая часть первого неравенства является полным квадратом выражения $(x - 2)$, поэтому замена выражения $x^2 - 4x + 4$ на $(x - 2)^2$ является тождественным (равносильным) преобразованием.

д) $x^2 - 4x + 5 + 2x < 0$ и $x^2 - 2x + 5 < 0$

В левой части первого неравенства $x^2 - 4x + 5 + 2x < 0$ приведем подобные слагаемые: $-4x + 2x = -2x$.
$x^2 + (-4x + 2x) + 5 < 0$
$x^2 - 2x + 5 < 0$
Приведение подобных слагаемых является тождественным преобразованием, которое не меняет множество решений неравенства.
Ответ: Второе неравенство получено из первого путем приведения подобных слагаемых в его левой части, что является равносильным преобразованием.

е) $\sqrt[3]{x} > 2$ и $x > 8$

Рассмотрим неравенство $\sqrt[3]{x} > 2$. Функция $y = t^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Поэтому возведение обеих частей неравенства в третью степень является равносильным преобразованием, которое сохраняет знак неравенства.
$(\sqrt[3]{x})^3 > 2^3$
$x > 8$
Мы получили второе неравенство. Следовательно, они равносильны.
Ответ: Второе неравенство получено из первого путем возведения обеих его частей в третью степень. Так как функция $y = t^3$ является монотонно возрастающей, это преобразование равносильно.

ж) $x^7 > 3$ и $x > \sqrt[7]{3}$

Рассмотрим неравенство $x^7 > 3$. Функция $y = \sqrt[7]{t}$ (корень седьмой степени) является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Поэтому извлечение корня нечетной степени из обеих частей неравенства является равносильным преобразованием, сохраняющим знак неравенства.
$\sqrt[7]{x^7} > \sqrt[7]{3}$
$x > \sqrt[7]{3}$
Мы получили второе неравенство. Следовательно, они равносильны.
Ответ: Второе неравенство получено из первого путем извлечения корня седьмой степени из обеих частей. Так как функция $y = \sqrt[7]{t}$ (корень нечетной степени) является монотонно возрастающей, это преобразование равносильно.

з) $0.1^{x^2 - 2x} > 0.1^x$ и $x^2 - 2x < x$

Рассмотрим показательное неравенство $0.1^{x^2 - 2x} > 0.1^x$. Основание степени равно $0.1$, что удовлетворяет условию $0 < 0.1 < 1$. Показательная функция с основанием $a$, где $0 < a < 1$, является монотонно убывающей. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства меняется на противоположный.
$x^2 - 2x < x$
Это и есть второе неравенство.
Ответ: Данные неравенства равносильны, так как при решении показательного неравенства с основанием, меньшим 1 (в данном случае 0,1), знак неравенства меняется на противоположный при переходе к сравнению показателей.

и) $5^{\sin x} < 5^{\cos x}$ и $\sin x < \cos x$

Рассмотрим показательное неравенство $5^{\sin x} < 5^{\cos x}$. Основание степени равно 5, что больше 1. Показательная функция с основанием $a > 1$ является монотонно возрастающей. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства сохраняется.
$\sin x < \cos x$
Это и есть второе неравенство.
Ответ: Данные неравенства равносильны, так как при решении показательного неравенства с основанием, большим 1 (в данном случае 5), знак неравенства сохраняется при переходе к сравнению показателей.