Номер 7.11, страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.11, страница 219.

7.11 a) $2^{x-1}=3^x$;

б) $2^x=3^{x+1}$;

в) $2^{x-2}=3^{x-3}$;

г) $2^{x-3}=3^{x-2}$.

а)

Для решения уравнения $2^{x-1} = 3^x$ воспользуемся свойствами степеней. Представим $2^{x-1}$ как $\frac{2^x}{2^1}$. Уравнение примет вид $\frac{2^x}{2} = 3^x$. Теперь сгруппируем выражения, содержащие $x$. Разделим обе части уравнения на $3^x$ (это допустимо, так как $3^x > 0$ при любых $x$) и умножим на 2. Получим $\frac{2^x}{3^x} = 2$. Используя свойство $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, запишем уравнение как $(\frac{2}{3})^x = 2$. Из этого уравнения, по определению логарифма, находим $x$.

Ответ: $x = \log_{2/3}(2)$.

б)

Рассмотрим уравнение $2^x = 3^{x+1}$. Используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем правую часть: $3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1$. Уравнение примет вид $2^x = 3^x \cdot 3$. Разделим обе части на $3^x$ (так как $3^x \ne 0$). Получим $\frac{2^x}{3^x} = 3$. Сгруппируем степени в левой части: $(\frac{2}{3})^x = 3$. По определению логарифма, $x$ равен логарифму числа 3 по основанию $\frac{2}{3}$.

Ответ: $x = \log_{2/3}(3)$.

в)

Решим уравнение $2^{x-2} = 3^{x-3}$. Используя свойство $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем обе части уравнения: $\frac{2^x}{2^2} = \frac{3^x}{3^3}$, что эквивалентно $\frac{2^x}{4} = \frac{3^x}{27}$. Сгруппируем члены с $x$ в одной части, а числовые коэффициенты — в другой. Для этого разделим обе части на $3^x$ и умножим на 4: $\frac{2^x}{3^x} = \frac{4}{27}$. Запишем левую часть как степень частного: $(\frac{2}{3})^x = \frac{4}{27}$. Из этого показательного уравнения находим $x$ как логарифм.

Ответ: $x = \log_{2/3}(\frac{4}{27})$.

г)

Решим уравнение $2^{x-3} = 3^{x-2}$. Преобразуем обе части с помощью свойства $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: $\frac{2^x}{2^3} = \frac{3^x}{3^2}$, то есть $\frac{2^x}{8} = \frac{3^x}{9}$. Перегруппируем члены уравнения, чтобы выделить степень с переменной $x$. Разделим обе части на $3^x$ и умножим на 8: $\frac{2^x}{3^x} = \frac{8}{9}$. Представим левую часть в виде $(\frac{2}{3})^x = \frac{8}{9}$. Отсюда по определению логарифма находим $x$.

Ответ: $x = \log_{2/3}(\frac{8}{9})$.