Номер 7.8, страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.8, страница 219.

7.8 а) $(5\sin^2 x - 4)^{11} = (\sin^2 x - 1)^{11}$;

б) $(5\cos^2 x - 1)^{7} = (\cos^2 x + 1)^{7}$;

в) $(4^x - 5)^{99} = (3 \cdot 2^x - 1)^{99}$;

г) $(9^x - 1)^{95} = (3^x + 5)^{95}$.

а) $(5\sin^2 x - 4)^{11} = (\sin^2 x - 1)^{11}$

Данное уравнение имеет вид $A^{11} = B^{11}$. Поскольку показатель степени 11 является нечетным числом, равенство степеней возможно тогда и только тогда, когда равны их основания. Следовательно, уравнение равносильно следующему:

$5\sin^2 x - 4 = \sin^2 x - 1$

Перенесем слагаемые, содержащие $\sin^2 x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$5\sin^2 x - \sin^2 x = 4 - 1$

$4\sin^2 x = 3$

$\sin^2 x = \frac{3}{4}$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$:

$\frac{1-\cos(2x)}{2} = \frac{3}{4}$

Умножим обе части на 4:

$2(1-\cos(2x)) = 3$

$2 - 2\cos(2x) = 3$

$-2\cos(2x) = 1$

$\cos(2x) = -\frac{1}{2}$

Теперь решим это простейшее тригонометрическое уравнение относительно $2x$:

$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $(5\cos^2 x - 1)^7 = (\cos^2 x + 1)^7$

Показатель степени 7 является нечетным числом, поэтому мы можем приравнять основания степеней:

$5\cos^2 x - 1 = \cos^2 x + 1$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$5\cos^2 x - \cos^2 x = 1 + 1$

$4\cos^2 x = 2$

$\cos^2 x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Используем формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$:

$\frac{1+\cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}$

Умножим обе части на 2:

$1+\cos(2x) = 1$

$\cos(2x) = 0$

Решим это уравнение:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

в) $(4^x - 5)^{99} = (3 \cdot 2^x - 1)^{99}$

Так как показатель степени 99 нечетный, уравнение эквивалентно равенству оснований:

$4^x - 5 = 3 \cdot 2^x - 1$

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^x$. Поскольку показательная функция $2^x$ всегда положительна, то $y > 0$.

Подставим $y$ в уравнение:

$y^2 - 5 = 3y - 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 - 3y - 4 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, произведение корней равно -4, а сумма равна 3. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -1$.

Теперь вернемся к замене $y = 2^x$.

1. $y_1 = 4$:
$2^x = 4$
$2^x = 2^2$
$x = 2$

2. $y_2 = -1$:
$2^x = -1$
Это уравнение не имеет действительных решений, так как $2^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x = 2$.

Ответ: $x=2$.

г) $(9^x - 1)^{95} = (3^x + 5)^{95}$

Показатель степени 95 нечетный, следовательно, мы можем приравнять основания:

$9^x - 1 = 3^x + 5$

Представим $9^x$ как $(3^x)^2$. Сделаем замену переменной $y = 3^x$. Условие для $y$ - $y>0$.

Уравнение принимает вид:

$y^2 - 1 = y + 5$

Приведем его к стандартному виду квадратного уравнения:

$y^2 - y - 6 = 0$

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, произведение корней равно -6, а сумма равна 1. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Выполним обратную замену $y = 3^x$.

1. $y_1 = 3$:
$3^x = 3$
$3^x = 3^1$
$x = 1$

2. $y_2 = -2$:
$3^x = -2$
Данное уравнение не имеет решений в действительных числах, так как $3^x$ всегда положительно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x=1$.

Ответ: $x=1$.