Страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнение (7.4—7.12):

7.4 а) $\cos 2x - \cos^2 x - \sin x = 0;$

б) $\cos 2x - \cos^2 x + \sin x = 0;$

в) $\cos 2x + \cos^2 x - 0.5 = 0;$

г) $\cos 2x - \sin^2 x + 0.5 = 0.$

Исходное уравнение: $ \cos 2x - \cos^2 x - \sin x = 0 $.

Для решения приведем все тригонометрические функции к одной, в данном случае к $ \sin x $. Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $ и основным тригонометрическим тождеством $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$ (1 - 2\sin^2 x) - (1 - \sin^2 x) - \sin x = 0 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ 1 - 2\sin^2 x - 1 + \sin^2 x - \sin x = 0 $

$ -\sin^2 x - \sin x = 0 $

Умножим уравнение на -1 и вынесем общий множитель $ \sin x $ за скобки:

$ \sin^2 x + \sin x = 0 $

$ \sin x (\sin x + 1) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1) $ \sin x = 0 $, откуда $ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = -1 $, откуда $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Исходное уравнение: $ \cos 2x - \cos^2 x + \sin x = 0 $.

Аналогично предыдущему пункту, используем формулы $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $ и $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $, чтобы выразить все через $ \sin x $.

Подставляем в уравнение:

$ (1 - 2\sin^2 x) - (1 - \sin^2 x) + \sin x = 0 $

Раскрываем скобки и упрощаем:

$ 1 - 2\sin^2 x - 1 + \sin^2 x + \sin x = 0 $

$ -\sin^2 x + \sin x = 0 $

Умножим на -1 и вынесем $ \sin x $ за скобки:

$ \sin^2 x - \sin x = 0 $

$ \sin x (\sin x - 1) = 0 $

Уравнение распадается на два случая:

1) $ \sin x = 0 $, откуда $ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1 $, откуда $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Исходное уравнение: $ \cos 2x + \cos^2 x - 0,5 = 0 $.

В этом уравнении удобнее выразить $ \cos^2 x $ через $ \cos 2x $, используя формулу понижения степени: $ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} $.

Подставим это в уравнение:

$ \cos 2x + \frac{1 + \cos 2x}{2} - 0,5 = 0 $

Заменим 0,5 на $ \frac{1}{2} $ и решим уравнение относительно $ \cos 2x $:

$ \cos 2x + \frac{1}{2} + \frac{\cos 2x}{2} - \frac{1}{2} = 0 $

$ \cos 2x + \frac{\cos 2x}{2} = 0 $

$ \frac{3}{2} \cos 2x = 0 $

$ \cos 2x = 0 $

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

Исходное уравнение: $ \cos 2x - \sin^2 x + 0,5 = 0 $.

Здесь удобно выразить $ \sin^2 x $ через $ \cos 2x $, используя формулу понижения степени: $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $.

Подставим в уравнение:

$ \cos 2x - \frac{1 - \cos 2x}{2} + 0,5 = 0 $

Чтобы избавиться от дроби, умножим все уравнение на 2:

$ 2\cos 2x - (1 - \cos 2x) + 1 = 0 $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 2\cos 2x - 1 + \cos 2x + 1 = 0 $

$ 3\cos 2x = 0 $

$ \cos 2x = 0 $

Это уравнение полностью совпадает с уравнением из предыдущего пункта.

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

7.5 a) $ \sqrt[3]{x^3 + 3x - 15} = x; $

б) $ \sqrt[3]{x^3 - 3x - 4} = x; $

В) $ \sqrt[3]{x^3 - 3x - 1} = x - 1; $

Г) $ \sqrt[3]{x^3 - 3x + 1} = x + 1. $

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{x^3 + 3x - 15} = x$.

Для его решения необходимо избавиться от кубического корня. Для этого возведем обе части уравнения в третью степень. Данное преобразование является равносильным, так как корень нечетной степени определен для любого действительного числа.

$(\sqrt[3]{x^3 + 3x - 15})^3 = x^3$

В левой части куб и кубический корень взаимно уничтожаются:

$x^3 + 3x - 15 = x^3$

Теперь вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения:

$3x - 15 = 0$

Получили простое линейное уравнение. Перенесем $-15$ в правую часть, изменив знак:

$3x = 15$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{15}{3}$

$x = 5$

Ответ: $5$.

б)

Дано уравнение $\sqrt[3]{x^3 - 3x - 4} = x$.

Аналогично предыдущему пункту, возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x^3 - 3x - 4})^3 = x^3$

$x^3 - 3x - 4 = x^3$

Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения:

$-3x - 4 = 0$

Перенесем $-4$ в правую часть:

$-3x = 4$

Разделим обе части на $-3$:

$x = -\frac{4}{3}$

Ответ: $-\frac{4}{3}$.

в)

Дано уравнение $\sqrt[3]{x^3 - 3x - 1} = x - 1$.

Возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x^3 - 3x - 1})^3 = (x - 1)^3$

$x^3 - 3x - 1 = (x - 1)^3$

Для раскрытия скобок в правой части воспользуемся формулой куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$(x - 1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:

$x^3 - 3x - 1 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

Сократим одинаковые члены в обеих частях ($x^3$ и $-1$):

$-3x = -3x^2 + 3x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 - 3x - 3x = 0$

$3x^2 - 6x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:

$3x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Ответ: $0; 2$.

г)

Дано уравнение $\sqrt[3]{x^3 - 3x + 1} = x + 1$.

Возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x^3 - 3x + 1})^3 = (x + 1)^3$

$x^3 - 3x + 1 = (x + 1)^3$

Для раскрытия скобок в правой части воспользуемся формулой куба суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(x + 1)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

Подставим полученное выражение в уравнение:

$x^3 - 3x + 1 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

Сократим одинаковые члены в обеих частях ($x^3$ и $1$):

$-3x = 3x^2 + 3x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$3x^2 + 3x + 3x = 0$

$3x^2 + 6x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$3x = 0 \implies x_1 = 0$

$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$

Ответ: $-2; 0$.

7.6 а) $\sqrt[3]{x} = x;$

Б) $3\sqrt[3]{x} = x - 2;$

В) $4\sqrt[3]{x + 2} = x + 2;$

Г) $3\sqrt[3]{x - 2} = x.$

а) Дано уравнение $\sqrt[3]{x} = x$.
Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в третью степень. Это преобразование является равносильным, так как корень нечетной степени определен для любых действительных чисел.
$(\sqrt[3]{x})^3 = x^3$
$x = x^3$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^3 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 1) = 0$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:
$x(x - 1)(x + 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три корня:
$x_1 = 0$
$x_2 - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1$
$x_3 + 1 = 0 \Rightarrow x_3 = -1$

Ответ: $x = -1; 0; 1$.

б) Дано уравнение $3\sqrt[3]{x} = x - 2$.
Для удобства решения введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[3]{x}$, тогда $x = y^3$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$3y = y^3 - 2$
Перенесем все члены в одну сторону и получим кубическое уравнение относительно $y$:
$y^3 - 3y - 2 = 0$
Найдем целые корни этого уравнения среди делителей свободного члена $-2$ (т.е. среди чисел $\pm1, \pm2$).
Проверим $y = -1$: $(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$. Корень найден.
Проверим $y = 2$: $2^3 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$. Корень найден.
Разделив многочлен $y^3 - 3y - 2$ на $(y+1)$, получим $y^2 - y - 2$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде $(y+1)(y^2 - y - 2) = 0$.
Решим квадратное уравнение $y^2 - y - 2 = 0$. Его корни $y=2$ и $y=-1$.
Следовательно, уравнение для $y$ имеет два различных корня: $y_1 = -1$ и $y_2 = 2$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, используя формулу $x = y^3$.
Если $y_1 = -1$, то $x_1 = (-1)^3 = -1$.
Если $y_2 = 2$, то $x_2 = 2^3 = 8$.

Ответ: $x = -1; 8$.

в) Дано уравнение $4\sqrt[3]{x+2} = x+2$.
Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[3]{x+2}$, тогда $y^3 = x+2$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$4y = y^3$
Перенесем все члены в одну сторону:
$y^3 - 4y = 0$
Вынесем $y$ за скобки:
$y(y^2 - 4) = 0$
Разложим на множители разность квадратов:
$y(y - 2)(y + 2) = 0$
Получаем три решения для $y$: $y_1 = 0$, $y_2 = 2$, $y_3 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ из соотношения $x = y^3 - 2$.
При $y_1 = 0$: $x_1 = 0^3 - 2 = -2$.
При $y_2 = 2$: $x_2 = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6$.
При $y_3 = -2$: $x_3 = (-2)^3 - 2 = -8 - 2 = -10$.

Ответ: $x = -10; -2; 6$.

г) Дано уравнение $3\sqrt[3]{x-2} = x$.
Возведем обе части уравнения в третью степень:
$(3\sqrt[3]{x-2})^3 = x^3$
$27(x-2) = x^3$
Раскроем скобки:
$27x - 54 = x^3$
Перенесем все члены в одну сторону:
$x^3 - 27x + 54 = 0$
Найдем целые корни этого уравнения среди делителей свободного члена $54$.
Проверим $x = 3$: $3^3 - 27(3) + 54 = 27 - 81 + 54 = 0$. Корень найден.
Проверим $x = -6$: $(-6)^3 - 27(-6) + 54 = -216 + 162 + 54 = 0$. Корень найден.
Разделив многочлен $x^3 - 27x + 54$ на $(x-3)$, получим $x^2 + 3x - 18$.
Таким образом, уравнение можно представить в виде $(x-3)(x^2 + 3x - 18) = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 + 3x - 18 = 0$. Его можно разложить на множители: $(x-3)(x+6) = 0$. Корни $x=3$ и $x=-6$.
Следовательно, исходное кубическое уравнение имеет два различных корня: $x_1 = -6$ и $x_2 = 3$.

Ответ: $x = -6; 3$.

7.7 a) $(2x - 3)^7 = (x + 1)^7;$

б) $(3x + 1)^5 = (x + 9)^5;$

в) $(3x^2 - 4x)^9 = (x^2 - 8x)^9;$

г) $(5x^2 + 4x)^3 = (x^2 + 2x)^3.$

а) Дано уравнение $(2x - 3)^7 = (x + 1)^7$. Это уравнение вида $A^n = B^n$, где показатель степени $n=7$ является нечетным числом. Для нечетных показателей степени равенство $A^n = B^n$ равносильно равенству оснований $A = B$. Таким образом, мы можем приравнять выражения в скобках: $2x - 3 = x + 1$ Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а постоянные слагаемые — в правую часть: $2x - x = 1 + 3$ Приведем подобные слагаемые: $x = 4$ Ответ: $x = 4$.

б) Дано уравнение $(3x + 1)^5 = (x + 9)^5$. Показатель степени $n=5$ является нечетным числом. Следовательно, мы можем приравнять основания степеней: $3x + 1 = x + 9$ Соберем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой: $3x - x = 9 - 1$ Упростим обе части уравнения: $2x = 8$ Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$: $x = \frac{8}{2}$ $x = 4$ Ответ: $x = 4$.

в) Дано уравнение $(3x^2 - 4x)^9 = (x^2 - 8x)^9$. Показатель степени $n=9$ является нечетным. Это означает, что равенство справедливо тогда и только тогда, когда основания степеней равны: $3x^2 - 4x = x^2 - 8x$ Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: $3x^2 - x^2 - 4x + 8x = 0$ Приведем подобные слагаемые: $2x^2 + 4x = 0$ Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $2x$ за скобки: $2x(x + 2) = 0$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения: 1) $2x = 0 \implies x_1 = 0$ 2) $x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$ Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -2$.

г) Дано уравнение $(5x^2 + 4x)^3 = (x^2 + 2x)^3$. Показатель степени $n=3$ — нечетное число. Следовательно, приравниваем основания: $5x^2 + 4x = x^2 + 2x$ Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: $5x^2 - x^2 + 4x - 2x = 0$ Упростим выражение, приведя подобные члены: $4x^2 + 2x = 0$ Вынесем за скобки общий множитель $2x$: $2x(2x + 1) = 0$ Получаем два уравнения: 1) $2x = 0 \implies x_1 = 0$ 2) $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x_2 = -0.5$ Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -0.5$.

7.8 а) $(5\sin^2 x - 4)^{11} = (\sin^2 x - 1)^{11}$;

б) $(5\cos^2 x - 1)^{7} = (\cos^2 x + 1)^{7}$;

в) $(4^x - 5)^{99} = (3 \cdot 2^x - 1)^{99}$;

г) $(9^x - 1)^{95} = (3^x + 5)^{95}$.

а) $(5\sin^2 x - 4)^{11} = (\sin^2 x - 1)^{11}$

Данное уравнение имеет вид $A^{11} = B^{11}$. Поскольку показатель степени 11 является нечетным числом, равенство степеней возможно тогда и только тогда, когда равны их основания. Следовательно, уравнение равносильно следующему:

$5\sin^2 x - 4 = \sin^2 x - 1$

Перенесем слагаемые, содержащие $\sin^2 x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$5\sin^2 x - \sin^2 x = 4 - 1$

$4\sin^2 x = 3$

$\sin^2 x = \frac{3}{4}$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$:

$\frac{1-\cos(2x)}{2} = \frac{3}{4}$

Умножим обе части на 4:

$2(1-\cos(2x)) = 3$

$2 - 2\cos(2x) = 3$

$-2\cos(2x) = 1$

$\cos(2x) = -\frac{1}{2}$

Теперь решим это простейшее тригонометрическое уравнение относительно $2x$:

$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $(5\cos^2 x - 1)^7 = (\cos^2 x + 1)^7$

Показатель степени 7 является нечетным числом, поэтому мы можем приравнять основания степеней:

$5\cos^2 x - 1 = \cos^2 x + 1$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$5\cos^2 x - \cos^2 x = 1 + 1$

$4\cos^2 x = 2$

$\cos^2 x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Используем формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$:

$\frac{1+\cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}$

Умножим обе части на 2:

$1+\cos(2x) = 1$

$\cos(2x) = 0$

Решим это уравнение:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

в) $(4^x - 5)^{99} = (3 \cdot 2^x - 1)^{99}$

Так как показатель степени 99 нечетный, уравнение эквивалентно равенству оснований:

$4^x - 5 = 3 \cdot 2^x - 1$

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^x$. Поскольку показательная функция $2^x$ всегда положительна, то $y > 0$.

Подставим $y$ в уравнение:

$y^2 - 5 = 3y - 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 - 3y - 4 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, произведение корней равно -4, а сумма равна 3. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -1$.

Теперь вернемся к замене $y = 2^x$.

1. $y_1 = 4$:
$2^x = 4$
$2^x = 2^2$
$x = 2$

2. $y_2 = -1$:
$2^x = -1$
Это уравнение не имеет действительных решений, так как $2^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x = 2$.

Ответ: $x=2$.

г) $(9^x - 1)^{95} = (3^x + 5)^{95}$

Показатель степени 95 нечетный, следовательно, мы можем приравнять основания:

$9^x - 1 = 3^x + 5$

Представим $9^x$ как $(3^x)^2$. Сделаем замену переменной $y = 3^x$. Условие для $y$ - $y>0$.

Уравнение принимает вид:

$y^2 - 1 = y + 5$

Приведем его к стандартному виду квадратного уравнения:

$y^2 - y - 6 = 0$

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, произведение корней равно -6, а сумма равна 1. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Выполним обратную замену $y = 3^x$.

1. $y_1 = 3$:
$3^x = 3$
$3^x = 3^1$
$x = 1$

2. $y_2 = -2$:
$3^x = -2$
Данное уравнение не имеет решений в действительных числах, так как $3^x$ всегда положительно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x=1$.

Ответ: $x=1$.

7.9 a) $2^{2x} = 2^{x-9}$

б) $4^{2x-7} = 4^{x-1}$

в) $9^{3x-4} = 9^{x+2}$

г) $3^{3x-1} = 3^{7x-2}$

д) $25^{x+1} = 5^{x^2+3x}$

е) $16^{x-1} = 4^{x^2-x}$

а) В уравнении $2^{2x} = 2^{x-9}$ основания степеней одинаковы. Следовательно, мы можем приравнять показатели степеней, чтобы найти решение.

$2x = x - 9$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$2x - x = -9$

$x = -9$

Ответ: $-9$.

б) В уравнении $4^{2x-7} = 4^{x-1}$ основания степеней также одинаковы. Приравниваем показатели степеней:

$2x - 7 = x - 1$

Соберем переменные в левой части, а константы в правой:

$2x - x = 7 - 1$

$x = 6$

Ответ: $6$.

в) Дано уравнение $9^{3x-4} = 9^{x+2}$. Основания степеней равны, поэтому приравниваем их показатели:

$3x - 4 = x + 2$

Переносим переменные влево, числа вправо:

$3x - x = 2 + 4$

$2x = 6$

Делим обе части на 2:

$x = 3$

Ответ: $3$.

г) В уравнении $3^{3x-1} = 3^{7x-2}$ основания степеней равны. Приравниваем показатели:

$3x - 1 = 7x - 2$

Сгруппируем слагаемые:

$2 - 1 = 7x - 3x$

$1 = 4x$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{1}{4}$ или $x = 0.25$

Ответ: $0.25$.

д) Дано уравнение $25^{x+1} = 5^{x^2+3x}$. Чтобы решить его, приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $25 = 5^2$.

Подставим это в уравнение:

$(5^2)^{x+1} = 5^{x^2+3x}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$5^{2(x+1)} = 5^{x^2+3x}$

Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели:

$2(x+1) = x^2+3x$

$2x + 2 = x^2 + 3x$

Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 2x - 2 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-2$, а их сумма равна $-1$. Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Проверка: $1 \cdot (-2) = -2$; $1 + (-2) = -1$. Корни найдены верно.

Ответ: $-2; 1$.

е) Дано уравнение $16^{x-1} = 4^{x^2-x}$. Приведем обе части к основанию 4, так как $16 = 4^2$.

$(4^2)^{x-1} = 4^{x^2-x}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем:

$4^{2(x-1)} = 4^{x^2-x}$

Основания равны, приравниваем показатели:

$2(x-1) = x^2-x$

$2x - 2 = x^2 - x$

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - x - 2x + 2 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим уравнение по теореме Виета: произведение корней равно $2$, сумма корней равна $3$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Проверка: $1 \cdot 2 = 2$; $1 + 2 = 3$. Корни найдены верно.

Ответ: $1; 2$.

7.10 a) $ \frac{4^{1 - 2x}}{8} = 0,5 \cdot 2^{1,2 + 2x}; $

Б) $ 0,2 \cdot 5^{0,2x + 3} = \frac{25^{0,2 - x}}{125}; $

В) $ \frac{3^{1 + 3x}}{9} = 27 \cdot 3^{1 - 2x}; $

Г) $ \frac{2}{3} \cdot 4^x - 2 = \frac{8^{3 - 2x}}{12}; $

Д) $ (0,81)^{-2x} = \left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{3x^2 - 3}; $

е) $ \left(\frac{2}{9}\right)^{x^2 - 1} = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^{1,5x}. $

а) Заданное уравнение: $ \frac{4^{1-2x}}{8} = 0,5 \cdot 2^{1,2+2x} $.
Для решения приведем все части уравнения к основанию 2.
Мы знаем, что $4 = 2^2$, $8 = 2^3$ и $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Подставим эти значения в исходное уравнение:
$ \frac{(2^2)^{1-2x}}{2^3} = 2^{-1} \cdot 2^{1,2+2x} $
Применим свойства степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Левая часть: $ \frac{2^{2(1-2x)}}{2^3} = \frac{2^{2-4x}}{2^3} = 2^{(2-4x) - 3} = 2^{-1-4x} $.
Правая часть: $ 2^{-1} \cdot 2^{1,2+2x} = 2^{-1 + 1,2 + 2x} = 2^{0,2+2x} $.
Теперь уравнение имеет вид:
$ 2^{-1-4x} = 2^{0,2+2x} $
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$ -1 - 4x = 0,2 + 2x $
Решим полученное линейное уравнение:
$ -4x - 2x = 0,2 + 1 $
$ -6x = 1,2 $
$ x = \frac{1,2}{-6} = -0,2 $
Ответ: $x = -0,2$.

б) Заданное уравнение: $ 0,2 \cdot 5^{0,2x+3} = \frac{25^{0,2-x}}{125} $.
Приведем все части уравнения к основанию 5.
Мы знаем, что $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$, $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$.
Подставим эти значения в уравнение:
$ 5^{-1} \cdot 5^{0,2x+3} = \frac{(5^2)^{0,2-x}}{5^3} $
Упростим обе части уравнения, используя свойства степеней:
Левая часть: $ 5^{-1 + 0,2x + 3} = 5^{0,2x+2} $.
Правая часть: $ \frac{5^{2(0,2-x)}}{5^3} = \frac{5^{0,4-2x}}{5^3} = 5^{(0,4-2x)-3} = 5^{-2,6-2x} $.
Получаем уравнение:
$ 5^{0,2x+2} = 5^{-2,6-2x} $
Приравниваем показатели степеней:
$ 0,2x + 2 = -2,6 - 2x $
Решаем уравнение:
$ 0,2x + 2x = -2,6 - 2 $
$ 2,2x = -4,6 $
$ x = \frac{-4,6}{2,2} = -\frac{46}{22} = -\frac{23}{11} $
Ответ: $x = -\frac{23}{11}$.

в) Заданное уравнение: $ \frac{3^{1+3x}}{9} = 27 \cdot 3^{1-2x} $.
Приведем все к основанию 3.
$9 = 3^2$, $27 = 3^3$.
Подставляем в уравнение:
$ \frac{3^{1+3x}}{3^2} = 3^3 \cdot 3^{1-2x} $
Упрощаем, используя свойства степеней:
$ 3^{(1+3x)-2} = 3^{3+(1-2x)} $
$ 3^{3x-1} = 3^{4-2x} $
Приравниваем показатели:
$ 3x - 1 = 4 - 2x $
$ 3x + 2x = 4 + 1 $
$ 5x = 5 $
$ x = 1 $
Ответ: $x = 1$.

г) Заданное уравнение: $ \frac{2}{3} \cdot 4^{x-2} = \frac{8^{3-2x}}{12} $.
Приведем степени к основанию 2, а также разложим числа на множители.
$4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $12 = 3 \cdot 4 = 3 \cdot 2^2$.
Подставим в уравнение:
$ \frac{2}{3} \cdot (2^2)^{x-2} = \frac{(2^3)^{3-2x}}{3 \cdot 2^2} $
$ \frac{2}{3} \cdot 2^{2x-4} = \frac{2^{9-6x}}{3 \cdot 2^2} $
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$ 2 \cdot 2^{2x-4} = \frac{2^{9-6x}}{2^2} $
Упростим обе части:
Левая часть: $ 2^1 \cdot 2^{2x-4} = 2^{1+2x-4} = 2^{2x-3} $.
Правая часть: $ 2^{(9-6x)-2} = 2^{7-6x} $.
Получаем уравнение:
$ 2^{2x-3} = 2^{7-6x} $
Приравниваем показатели:
$ 2x - 3 = 7 - 6x $
$ 2x + 6x = 7 + 3 $
$ 8x = 10 $
$ x = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25 $
Ответ: $x = 1,25$.

д) Заданное уравнение: $ (0,81)^{-2x} = \left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{3x^2-3} $.
Приведем обе части к общему основанию.
$0,81 = \frac{81}{100} = \left(\frac{9}{10}\right)^2$.
$\frac{\sqrt{10}}{3} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \left(\frac{10}{9}\right)^{1/2} = \left(\left(\frac{9}{10}\right)^{-1}\right)^{1/2} = \left(\frac{9}{10}\right)^{-1/2}$.
Подставим в уравнение:
$ \left(\left(\frac{9}{10}\right)^2\right)^{-2x} = \left(\left(\frac{9}{10}\right)^{-1/2}\right)^{3x^2-3} $
Упростим показатели:
$ \left(\frac{9}{10}\right)^{-4x} = \left(\frac{9}{10}\right)^{-\frac{1}{2}(3x^2-3)} $
Приравниваем показатели:
$ -4x = -\frac{1}{2}(3x^2 - 3) $
Умножим обе части на -2:
$ 8x = 3x^2 - 3 $
Получаем квадратное уравнение:
$ 3x^2 - 8x - 3 = 0 $
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.
$\sqrt{D} = 10$.
Найдем корни:
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -\frac{1}{3}$.

е) Заданное уравнение: $ \left(\frac{2}{9}\right)^{x^2-1} = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^{1,5x} $.
Приведем обе части к общему основанию.
Левая часть: $\frac{2}{9} = \frac{(\sqrt{2})^2}{3^2} = \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2$.
Правая часть: $\frac{3}{\sqrt{2}} = \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{-1}$.
Подставим в уравнение:
$ \left(\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2\right)^{x^2-1} = \left(\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{-1}\right)^{1,5x} $
Упростим показатели:
$ \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{2(x^2-1)} = \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{-1,5x} $
Приравниваем показатели:
$ 2(x^2 - 1) = -1,5x $
$ 2x^2 - 2 = -1,5x $
$ 2x^2 + 1,5x - 2 = 0 $
Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$ 4x^2 + 3x - 4 = 0 $
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 9 + 64 = 73$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня.
$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 \pm \sqrt{73}}{8} $
Ответ: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{73}}{8}$.

7.11 a) $2^{x-1}=3^x$;

б) $2^x=3^{x+1}$;

в) $2^{x-2}=3^{x-3}$;

г) $2^{x-3}=3^{x-2}$.

а)

Для решения уравнения $2^{x-1} = 3^x$ воспользуемся свойствами степеней. Представим $2^{x-1}$ как $\frac{2^x}{2^1}$. Уравнение примет вид $\frac{2^x}{2} = 3^x$. Теперь сгруппируем выражения, содержащие $x$. Разделим обе части уравнения на $3^x$ (это допустимо, так как $3^x > 0$ при любых $x$) и умножим на 2. Получим $\frac{2^x}{3^x} = 2$. Используя свойство $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, запишем уравнение как $(\frac{2}{3})^x = 2$. Из этого уравнения, по определению логарифма, находим $x$.

Ответ: $x = \log_{2/3}(2)$.

б)

Рассмотрим уравнение $2^x = 3^{x+1}$. Используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем правую часть: $3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1$. Уравнение примет вид $2^x = 3^x \cdot 3$. Разделим обе части на $3^x$ (так как $3^x \ne 0$). Получим $\frac{2^x}{3^x} = 3$. Сгруппируем степени в левой части: $(\frac{2}{3})^x = 3$. По определению логарифма, $x$ равен логарифму числа 3 по основанию $\frac{2}{3}$.

Ответ: $x = \log_{2/3}(3)$.

в)

Решим уравнение $2^{x-2} = 3^{x-3}$. Используя свойство $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем обе части уравнения: $\frac{2^x}{2^2} = \frac{3^x}{3^3}$, что эквивалентно $\frac{2^x}{4} = \frac{3^x}{27}$. Сгруппируем члены с $x$ в одной части, а числовые коэффициенты — в другой. Для этого разделим обе части на $3^x$ и умножим на 4: $\frac{2^x}{3^x} = \frac{4}{27}$. Запишем левую часть как степень частного: $(\frac{2}{3})^x = \frac{4}{27}$. Из этого показательного уравнения находим $x$ как логарифм.

Ответ: $x = \log_{2/3}(\frac{4}{27})$.

г)

Решим уравнение $2^{x-3} = 3^{x-2}$. Преобразуем обе части с помощью свойства $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: $\frac{2^x}{2^3} = \frac{3^x}{3^2}$, то есть $\frac{2^x}{8} = \frac{3^x}{9}$. Перегруппируем члены уравнения, чтобы выделить степень с переменной $x$. Разделим обе части на $3^x$ и умножим на 8: $\frac{2^x}{3^x} = \frac{8}{9}$. Представим левую часть в виде $(\frac{2}{3})^x = \frac{8}{9}$. Отсюда по определению логарифма находим $x$.

Ответ: $x = \log_{2/3}(\frac{8}{9})$.

7.12 а) $5^x + \sin x = 5^{\sin x + 2};$

б) $6^{\sqrt[3]{x+1}} = 6^{\sqrt[3]{2x-1}};$

В) $(x^2 - \sin x)^{101} = (x^2 + 1)^{101};$

Г) $(x^7 + \cos x)^{103} = (x^7 - 1)^{103};$

Д) $\sqrt[7]{\sin^2 x + 4^x - 6} = \sqrt[7]{\sin^2 x - 2^x};$

е) $\sqrt[5]{\sin^2 x + 9^x} = \sqrt[5]{-\cos^2 x + 3^x + 7}.$

а) $5^{x + \sin x} = 5^{\sin x + 2}$
Поскольку показательная функция $y = 5^t$ является строго возрастающей, равенство возможно только тогда, когда равны показатели степеней.
$x + \sin x = \sin x + 2$
Вычтем $\sin x$ из обеих частей уравнения:
$x = 2$
Ответ: $2$

б) $6^{\sqrt[3]{x+1}} = 6^{\sqrt[3]{2x-1}}$
Аналогично предыдущему пункту, функция $y = 6^t$ является строго возрастающей, поэтому мы можем приравнять показатели степеней.
$\sqrt[3]{x+1} = \sqrt[3]{2x-1}$
Возведем обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от корней.
$(\sqrt[3]{x+1})^3 = (\sqrt[3]{2x-1})^3$
$x+1 = 2x-1$
$1+1 = 2x - x$
$x=2$
Ответ: $2$

в) $(x^2 - \sin x)^{101} = (x^2 + 1)^{101}$
Функция $y = t^{101}$ является степенной функцией с нечетным натуральным показателем, она строго возрастающая на всей числовой оси. Следовательно, равенство возможно только при равенстве оснований степеней.
$x^2 - \sin x = x^2 + 1$
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$-\sin x = 1$
$\sin x = -1$
Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

г) $(x^7 + \cos x)^{103} = (x^7 - 1)^{103}$
Функция $y = t^{103}$ является степенной функцией с нечетным натуральным показателем, она строго возрастающая. Поэтому мы можем приравнять основания степеней.
$x^7 + \cos x = x^7 - 1$
Вычтем $x^7$ из обеих частей уравнения:
$\cos x = -1$
Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней:
$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

д) $\sqrt[7]{\sin^2 x + 4^x - 6} = \sqrt[7]{\sin^2 x - 2^x}$
Функция $y = \sqrt[7]{t}$ (корень нечетной степени) является строго возрастающей для всех действительных значений

7.13* ИССЛЕДУЕМ

При каком значении параметра $a$ уравнение $3^{x^2 - 2x + a} = 9^x$ имеет единственный корень?

Чтобы найти значение параметра a, при котором данное уравнение имеет единственный корень, преобразуем его. Исходное уравнение:

$3^{x^2 - 2x + a} = 9^x$

Заметим, что основание в правой части уравнения можно представить как степень числа 3, поскольку $9 = 3^2$.

$3^{x^2 - 2x + a} = (3^2)^x$

Используя свойство степеней $(b^m)^n = b^{mn}$, упростим правую часть:

$3^{x^2 - 2x + a} = 3^{2x}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 - 2x + a = 2x$

Теперь перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$x^2 - 2x - 2x + a = 0$

$x^2 - 4x + a = 0$

Исходное показательное уравнение будет иметь единственный корень в том и только в том случае, если полученное квадратное уравнение имеет единственный корень. Квадратное уравнение имеет ровно один корень, когда его дискриминант (D) равен нулю.

Формула дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$. Для нашего уравнения коэффициенты равны: $A=1$, $B=-4$, $C=a$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$

Приравняем дискриминант к нулю и решим уравнение относительно a:

$16 - 4a = 0$

$4a = 16$

$a = \frac{16}{4}$

$a = 4$

Следовательно, при $a=4$ уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $a = 4$