Страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

7.14°

a) Какие два неравенства называют равносильными?

б) Какие преобразования неравенства называют равносильными? Приведите примеры равносильных преобразований неравенств.

а) Два неравенства называют равносильными, если множества их решений совпадают. Это означает, что любое число, являющееся решением первого неравенства, является также решением второго, и наоборот, любое решение второго является решением первого. Если оба неравенства не имеют решений, они также считаются равносильными.

Например, неравенства $x - 1 > 4$ и $2x > 10$ являются равносильными. Решением первого неравенства является $x > 5$. Решением второго неравенства также является $x > 5$. Поскольку множества решений $x \in (5; +\infty)$ у обоих неравенств одинаковы, они равносильны.

Ответ: Равносильными называют два неравенства, которые имеют одинаковые множества решений.

б) Равносильными преобразованиями неравенства называют такие преобразования, в результате которых исходное неравенство заменяется на новое, равносильное ему. Такие преобразования не изменяют множество решений неравенства и являются основным инструментом для их решения.

Примеры равносильных преобразований:

1. Перенос слагаемых. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный. Знак самого неравенства при этом не меняется.
Пример: Неравенство $3x + 5 < 8$ равносильно неравенству $3x < 8 - 5$.

2. Умножение или деление на положительное число. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.
Пример: Неравенство $5x > 20$ равносильно неравенству $x > 4$ (обе части разделили на положительное число 5).

3. Умножение или деление на отрицательное число. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства необходимо изменить на противоположный ($<$ на $>$, $>$ на $<$, $\leq$ на $\geq$, $\geq$ на $\leq$).
Пример: Неравенство $-2x \leq 12$ равносильно неравенству $x \geq -6$ (обе части разделили на отрицательное число -2 и изменили знак $\leq$ на $\geq$).

Ответ: Равносильные преобразования – это преобразования, которые сохраняют множество решений неравенства. Основные примеры: перенос слагаемых из одной части в другую с изменением знака слагаемого; умножение или деление обеих частей на одно и то же положительное число; умножение или деление обеих частей на одно и то же отрицательное число с обязательным изменением знака неравенства на противоположный.