Страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

8.6° a) Объясните, почему возведение уравнения в чётную степень может привести к появлению корней, посторонних для исходного уравнения.

б)* Докажите утверждение о возведении уравнения в чётную степень.

в) Какое уравнение называют иррациональным? Как можно решать иррациональное уравнение?

а) Объясните, почему возведение уравнения в чётную степень может привести к появлению корней, посторонних для исходного уравнения.

Возведение в чётную степень не является равносильным преобразованием уравнения, поскольку оно "нечувствительно" к знаку выражений. Если два числа равны, то их квадраты (и любые другие чётные степени) тоже равны. Однако, если квадраты двух чисел равны, это не означает, что сами числа были равны. Они могли быть и противоположными по знаку.

Рассмотрим исходное уравнение:

$f(x) = g(x)$

Возведём обе его части в чётную степень $2k$ (где $k$ – натуральное число):

$(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$

Это уравнение равносильно тому, что $|f(x)| = |g(x)|$, что, в свою очередь, эквивалентно совокупности двух уравнений:

$f(x) = g(x)$ (наше исходное уравнение)

$f(x) = -g(x)$

Таким образом, решая уравнение, полученное возведением в чётную степень, мы находим корни не только исходного уравнения, но и уравнения $f(x) = -g(x)$. Если второе уравнение имеет корни, которые не являются корнями первого, то они и будут посторонними для исходного уравнения.

Пример:

Дано уравнение $\sqrt{x+7} = x-5$. Его единственным корнем является $x=9$.

Возведём обе части в квадрат:

$x+7 = (x-5)^2$

$x+7 = x^2 - 10x + 25$

$x^2 - 11x + 18 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1=9$ и $x_2=2$.

Корень $x=9$ является корнем исходного уравнения. Корень $x=2$ является посторонним, так как он является решением уравнения $\sqrt{x+7} = -(x-5)$, а не исходного. При подстановке $x=2$ в исходное уравнение получаем неверное равенство $\sqrt{9} = -3$, то есть $3 = -3$.

Ответ: Возведение уравнения $f(x) = g(x)$ в чётную степень $2k$ приводит к уравнению-следствию $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$, которое равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$. Корни второго уравнения, не являющиеся корнями первого, и есть посторонние корни.

б)* Докажите утверждение о возведении уравнения в чётную степень.

Утверждение: Множество корней уравнения $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$ (где $k \in N$) содержит в себе всё множество корней уравнения $f(x) = g(x)$.

Доказательство:

Доказательство состоит из двух частей.

Часть 1. Все корни исходного уравнения являются корнями нового уравнения.

Пусть $x_0$ – произвольный корень исходного уравнения $f(x) = g(x)$. Это означает, что при подстановке $x_0$ в уравнение мы получаем верное числовое равенство:

$f(x_0) = g(x_0)$

Согласно свойствам числовых равенств, мы можем возвести обе его части в одну и ту же натуральную степень $2k$. Равенство при этом сохранится:

$(f(x_0))^{2k} = (g(x_0))^{2k}$

Это означает, что $x_0$ является корнем уравнения $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$. Поскольку мы выбрали произвольный корень $x_0$, это верно для всех корней исходного уравнения. Таким образом, при возведении в чётную степень потеря корней не происходит.

Часть 2. В новом уравнении могут появиться посторонние корни.

Рассмотрим уравнение, полученное после возведения в степень:

$(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$

Перенесем все члены в левую часть:

$(f(x))^{2k} - (g(x))^{2k} = 0$

Это выражение является разностью квадратов $(f(x)^k)^2 - (g(x)^k)^2 = 0$. Разложим его на множители:

$(f(x)^k - g(x)^k)(f(x)^k + g(x)^k) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$f(x)^k - g(x)^k = 0 \implies f(x)^k = g(x)^k$

$f(x)^k + g(x)^k = 0 \implies f(x)^k = -g(x)^k$

Эта совокупность, в свою очередь, равносильна совокупности $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$ (поскольку если $k$ нечётное, это очевидно; если $k$ чётное, то $f(x)^k=g(x)^k \Leftrightarrow |f(x)|=|g(x)| \Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)$, а $f(x)^k=-g(x)^k$ возможно только при $f(x)=g(x)=0$, что входит в первое уравнение).

Таким образом, множество решений уравнения $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$ есть объединение множеств решений уравнений $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$. Если уравнение $f(x) = -g(x)$ имеет корни, отличные от корней $f(x)=g(x)$, они будут являться посторонними для исходного уравнения. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что любой корень уравнения $f(x) = g(x)$ является корнем уравнения $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$, а уравнение $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$ равносильно совокупности уравнений $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$, что объясняет появление посторонних корней.

в) Какое уравнение называют иррациональным? Как можно решать иррациональное уравнение?

Иррациональным уравнением называют уравнение, в котором переменная (неизвестное) находится под знаком корня (радикала) или в основании степени с дробным показателем.

Примеры иррациональных уравнений:

$\sqrt{x-1} + \sqrt{x+2} = 3$

$\sqrt[3]{x^2 - 1} = x-1$

$x^{\frac{2}{3}} - 5x^{\frac{1}{3}} + 6 = 0$

Способы решения иррациональных уравнений:

Основным методом решения является метод возведения обеих частей уравнения в степень. Цель этого метода — избавиться от знаков корня и свести уравнение к рациональному (например, алгебраическому).

Алгоритм решения:

1. По возможности уединить один из радикалов в одной из частей уравнения (например, перенести все остальные члены в другую часть).
2. Возвести обе части уравнения в степень, равную показателю уединенного корня. Для квадратного корня — в квадрат, для кубического — в куб, и т.д.
3. Если уравнение все еще содержит радикалы, повторить шаги 1 и 2 до тех пор, пока все они не будут устранены.
4. Решить полученное рациональное уравнение.
5. Обязательно выполнить проверку всех найденных корней путем их подстановки в исходное иррациональное уравнение. Проверка необходима, так как при возведении в чётную степень могут возникать посторонние корни.

Другие методы решения:

• Метод введения новой переменной (замены). Используется, когда в уравнение входят повторяющиеся выражения с радикалами. Например, в уравнении $x^2 + 3\sqrt{x^2-4} - 10 = 0$ можно сделать замену $y = \sqrt{x^2-4}$.
• Решение с помощью анализа области допустимых значений (ОДЗ). Иногда, определив ОДЗ для переменной (условия, при которых все выражения под корнями чётной степени неотрицательны), можно сразу отсеять некоторые посторонние корни или даже доказать, что уравнение не имеет решений. Например, для уравнения вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильным переходом будет решение системы:$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$При таком подходе проверка не требуется, так как переход является равносильным.

Ответ: Иррациональное уравнение — это уравнение, содержащее переменную под знаком корня. Основной метод его решения — возведение обеих частей в степень для устранения радикала с последующей обязательной проверкой корней. Также применяются метод замены переменной и анализ области допустимых значений.

8.7 Возведите уравнение во вторую степень, решите полученное уравнение, проверьте, являются ли корни уравнения-следствия корнями исходного уравнения:

a) $\sqrt{x} = x - 2$;

б) $\sqrt{3x} = 2x - 3$;

в) $\sqrt{2x - 1} = x$;

г) $\sqrt{3x - 2} = x$.

a) Исходное уравнение: $\sqrt{x} = x - 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (x-2)^2$

$x = x^2 - 4x + 4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корни уравнения-следствия: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Теперь выполним проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение $\sqrt{x} = x - 2$. При возведении в квадрат могут появиться посторонние корни, поэтому проверка обязательна. Также необходимо учесть, что правая часть уравнения $x-2$ должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня. То есть, $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Проверка для $x_1 = 1$:

Условие $x \ge 2$ не выполняется, так как $1 < 2$. Следовательно, $x=1$ является посторонним корнем.

Подстановка в уравнение также показывает неверность: $\sqrt{1} = 1 - 2$, что дает $1 = -1$.

Проверка для $x_2 = 4$:

Условие $x \ge 2$ выполняется, так как $4 \ge 2$.

Подстановка в уравнение: $\sqrt{4} = 4 - 2$, что дает $2 = 2$. Это верное равенство.

Таким образом, корень $x=4$ является корнем исходного уравнения, а корень $x=1$ — посторонний.

Ответ: 4.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{3x} = 2x - 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x})^2 = (2x-3)^2$

$3x = 4x^2 - 12x + 9$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$4x^2 - 15x + 9 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 225 - 144 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения-следствия: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm 9}{8}$.

$x_1 = \frac{15+9}{8} = \frac{24}{8} = 3$

$x_2 = \frac{15-9}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Выполним проверку. Условие неотрицательности правой части: $2x-3 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{3}{2}$ или $x \ge 1.5$.

Проверка для $x_1 = 3$:

Условие $x \ge 1.5$ выполняется ($3 \ge 1.5$).

Подстановка в уравнение: $\sqrt{3 \cdot 3} = 2 \cdot 3 - 3$, что дает $\sqrt{9} = 6 - 3$, или $3 = 3$. Это верное равенство.

Проверка для $x_2 = \frac{3}{4}$:

Условие $x \ge 1.5$ не выполняется ($\frac{3}{4} = 0.75 < 1.5$), поэтому $x=\frac{3}{4}$ является посторонним корнем.

Подстановка в уравнение: $\sqrt{3 \cdot \frac{3}{4}} = 2 \cdot \frac{3}{4} - 3$, что дает $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} - 3$, или $\frac{3}{2} = -\frac{3}{2}$. Это неверное равенство.

Таким образом, только $x=3$ является корнем исходного уравнения.

Ответ: 3.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{2x - 1} = x$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x - 1})^2 = x^2$

$2x - 1 = x^2$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это формула квадрата разности: $(x - 1)^2 = 0$.

Уравнение-следствие имеет один корень: $x = 1$.

Проверим этот корень. Условие неотрицательности правой части: $x \ge 0$. Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 0.5$. Оба условия сводятся к $x \ge 0.5$.

Проверка для $x = 1$:

Условие $x \ge 0.5$ выполняется ($1 \ge 0.5$).

Подстановка в уравнение: $\sqrt{2 \cdot 1 - 1} = 1$, что дает $\sqrt{1} = 1$, или $1 = 1$. Это верное равенство.

Следовательно, $x=1$ является корнем исходного уравнения.

Ответ: 1.

г) Исходное уравнение: $\sqrt{3x - 2} = x$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x - 2})^2 = x^2$

$3x - 2 = x^2$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни уравнения-следствия: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Проверим корни. Условие неотрицательности правой части: $x \ge 0$. Условие для подкоренного выражения: $3x-2 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{2}{3}$. Оба условия сводятся к $x \ge \frac{2}{3}$.

Проверка для $x_1 = 1$:

Условие $x \ge \frac{2}{3}$ выполняется ($1 > \frac{2}{3}$).

Подстановка в уравнение: $\sqrt{3 \cdot 1 - 2} = 1$, что дает $\sqrt{1} = 1$, или $1 = 1$. Это верное равенство.

Проверка для $x_2 = 2$:

Условие $x \ge \frac{2}{3}$ выполняется ($2 > \frac{2}{3}$).

Подстановка в уравнение: $\sqrt{3 \cdot 2 - 2} = 2$, что дает $\sqrt{4} = 2$, или $2 = 2$. Это верное равенство.

Оба корня уравнения-следствия являются корнями исходного уравнения.

Ответ: 1; 2.

Решите уравнение (8.8–8.11):

8.8 а) $\sqrt{x^2 - 4x + 1} = \sqrt{3x + 1};$

б) $\sqrt{2x^2 - 4x + 5} = \sqrt{3x^2 - x + 1};$

в) $\sqrt{x^2 - 3x} = \sqrt{4x - 10};$

г) $\sqrt{x^2 - 3x - 3} = \sqrt{2x^2 - 2x - 9}.$

а) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 4x + 1} = \sqrt{3x + 1}$.
Это иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$. Оно равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного возведением обеих частей в квадрат, и неравенства, обеспечивающего неотрицательность одного из подкоренных выражений (второе будет неотрицательным автоматически, так как оно равно первому).
$\begin{cases} x^2 - 4x + 1 = 3x + 1 \\ 3x + 1 \ge 0 \end{cases}$
Сначала решим уравнение:
$x^2 - 4x + 1 = 3x + 1$
$x^2 - 7x = 0$
$x(x - 7) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни неравенству $3x + 1 \ge 0$ (то есть $x \ge -1/3$).
При $x_1 = 0$: $3 \cdot 0 + 1 = 1 \ge 0$. Корень $x=0$ подходит.
При $x_2 = 7$: $3 \cdot 7 + 1 = 22 \ge 0$. Корень $x=7$ подходит.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $0; 7$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{2x^2 - 4x + 5} = \sqrt{3x^2 - x + 1}$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны. Получим уравнение-следствие:
$2x^2 - 4x + 5 = 3x^2 - x + 1$
Перенесем все члены в одну сторону:
$3x^2 - x + 1 - (2x^2 - 4x + 5) = 0$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а произведение равно $-4$. Корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.
Теперь необходимо выполнить проверку, подставив найденные корни в подкоренные выражения исходного уравнения, чтобы убедиться в их неотрицательности.
Проверка для $x_1 = -4$:
$2x^2 - 4x + 5 = 2(-4)^2 - 4(-4) + 5 = 2(16) + 16 + 5 = 32 + 16 + 5 = 53 \ge 0$.
$3x^2 - x + 1 = 3(-4)^2 - (-4) + 1 = 3(16) + 4 + 1 = 48 + 4 + 1 = 53 \ge 0$.
Корень $x=-4$ подходит.
Проверка для $x_2 = 1$:
$2x^2 - 4x + 5 = 2(1)^2 - 4(1) + 5 = 2 - 4 + 5 = 3 \ge 0$.
$3x^2 - x + 1 = 3(1)^2 - 1 + 1 = 3 \ge 0$.
Корень $x=1$ подходит.
Оба корня являются решениями.
Ответ: $-4; 1$.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 3x} = \sqrt{4x - 10}$.
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 3x = 4x - 10 \\ 4x - 10 \ge 0 \end{cases}$
Решим уравнение:
$x^2 - 3x - 4x + 10 = 0$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а произведение равно $10$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.
Проверим выполнение неравенства $4x - 10 \ge 0$ (то есть $x \ge 2.5$) для найденных корней.
При $x_1 = 2$: $4 \cdot 2 - 10 = 8 - 10 = -2 < 0$. Неравенство не выполняется, значит $x=2$ — посторонний корень.
При $x_2 = 5$: $4 \cdot 5 - 10 = 20 - 10 = 10 \ge 0$. Неравенство выполняется, значит $x=5$ — корень уравнения.
Ответ: $5$.

г) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 3x - 3} = \sqrt{2x^2 - 2x - 9}$.
Возводим обе части в квадрат:
$x^2 - 3x - 3 = 2x^2 - 2x - 9$
Переносим все в правую часть:
$2x^2 - 2x - 9 - (x^2 - 3x - 3) = 0$
$x^2 + x - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-6$. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Выполним проверку, подставив корни в одно из подкоренных выражений. Если оно будет неотрицательным, корень подходит.
Проверка для $x_1 = -3$:
$x^2 - 3x - 3 = (-3)^2 - 3(-3) - 3 = 9 + 9 - 3 = 15 \ge 0$.
(Для второго выражения: $2(-3)^2 - 2(-3) - 9 = 18 + 6 - 9 = 15 \ge 0$).
Корень $x=-3$ подходит.
Проверка для $x_2 = 2$:
$x^2 - 3x - 3 = (2)^2 - 3(2) - 3 = 4 - 6 - 3 = -5 < 0$.
Подкоренное выражение отрицательно, значит, $x=2$ — посторонний корень.
Ответ: $-3$.

8.9 a) $\sqrt{5x+2} = x\sqrt{3}$;

б) $\sqrt{3x+2} = x\sqrt{2}$;

в) $\sqrt{2x+5} = x+1$;

г) $\sqrt{3x+7} = 2x+3$;

д) $\sqrt{2x^2-4x+1} = x+1$;

е) $\sqrt{3x^2-4x+1} = x-1$.

а) $\sqrt{5x + 2} = x\sqrt{3}$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения, как равная квадратному корню, также должна быть неотрицательной.

$\begin{cases} 5x + 2 \ge 0 \\ x\sqrt{3} \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 5x \ge -2 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -0.4 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies x \ge 0$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt{5x + 2})^2 = (x\sqrt{3})^2$

$5x + 2 = 3x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 - 5x - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$):

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge 0$.

Корень $x_2 = -\frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию $-\frac{1}{3} \ge 0$, поэтому является посторонним.

Ответ: $2$.

б) $\sqrt{3x + 2} = x\sqrt{2}$

Определим ОДЗ. Выражение под корнем и правая часть должны быть неотрицательны:

$\begin{cases} 3x + 2 \ge 0 \\ x\sqrt{2} \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge -2 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -\frac{2}{3} \\ x \ge 0 \end{cases} \implies x \ge 0$.

Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{3x + 2})^2 = (x\sqrt{2})^2$

$3x + 2 = 2x^2$

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Решаем через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

Находим корни:

$x_1 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Сверяем корни с ОДЗ ($x \ge 0$):

Корень $x_1 = 2$ подходит, так как $2 \ge 0$.

Корень $x_2 = -\frac{1}{2}$ не подходит, так как $-\frac{1}{2} < 0$.

Ответ: $2$.

в) $\sqrt{2x + 5} = x + 1$

Данное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна, а подкоренное выражение равно квадрату правой части:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 2x + 5 = (x + 1)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge -1$. Это условие для проверки корней.

Решаем второе уравнение:

$2x + 5 = x^2 + 2x + 1$

$x^2 = 4$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Проверяем корни по условию $x \ge -1$:

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge -1$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge -1$, значит, это посторонний корень.

Ответ: $2$.

г) $\sqrt{3x + 7} = 2x + 3$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 2x + 3 \ge 0 \\ 3x + 7 = (2x + 3)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства $2x \ge -3 \implies x \ge -1.5$.

Решаем второе уравнение:

$3x + 7 = 4x^2 + 12x + 9$

$4x^2 + 9x + 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 = 7^2$

$x_1 = \frac{-9 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} = -0.25$

$x_2 = \frac{-9 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2$

Проверяем корни по условию $x \ge -1.5$:

Корень $x_1 = -0.25$ удовлетворяет условию $-0.25 \ge -1.5$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge -1.5$, это посторонний корень.

Ответ: $-0.25$.

д) $\sqrt{2x^2 - 4x + 1} = x + 1$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 2x^2 - 4x + 1 = (x + 1)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства $x \ge -1$.

Решаем второе уравнение:

$2x^2 - 4x + 1 = x^2 + 2x + 1$

$2x^2 - x^2 - 4x - 2x + 1 - 1 = 0$

$x^2 - 6x = 0$

$x(x - 6) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Проверяем оба корня по условию $x \ge -1$:

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 \ge -1$.

Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge -1$.

Оба корня подходят.

Ответ: $0; 6$.

е) $\sqrt{3x^2 - 4x + 1} = x - 1$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 3x^2 - 4x + 1 = (x - 1)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства $x \ge 1$.

Решаем второе уравнение:

$3x^2 - 4x + 1 = x^2 - 2x + 1$

$3x^2 - x^2 - 4x + 2x + 1 - 1 = 0$

$2x^2 - 2x = 0$

$2x(x - 1) = 0$

Получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Проверяем корни по условию $x \ge 1$:

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 \ge 1$, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge 1$.

Ответ: $1$.