Номер 8.9, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.9, страница 230.

8.9 a) $\sqrt{5x+2} = x\sqrt{3}$;

б) $\sqrt{3x+2} = x\sqrt{2}$;

в) $\sqrt{2x+5} = x+1$;

г) $\sqrt{3x+7} = 2x+3$;

д) $\sqrt{2x^2-4x+1} = x+1$;

е) $\sqrt{3x^2-4x+1} = x-1$.

а) $\sqrt{5x + 2} = x\sqrt{3}$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения, как равная квадратному корню, также должна быть неотрицательной.

$\begin{cases} 5x + 2 \ge 0 \\ x\sqrt{3} \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 5x \ge -2 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -0.4 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies x \ge 0$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt{5x + 2})^2 = (x\sqrt{3})^2$

$5x + 2 = 3x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 - 5x - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$):

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge 0$.

Корень $x_2 = -\frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию $-\frac{1}{3} \ge 0$, поэтому является посторонним.

Ответ: $2$.

б) $\sqrt{3x + 2} = x\sqrt{2}$

Определим ОДЗ. Выражение под корнем и правая часть должны быть неотрицательны:

$\begin{cases} 3x + 2 \ge 0 \\ x\sqrt{2} \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge -2 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -\frac{2}{3} \\ x \ge 0 \end{cases} \implies x \ge 0$.

Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{3x + 2})^2 = (x\sqrt{2})^2$

$3x + 2 = 2x^2$

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Решаем через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

Находим корни:

$x_1 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Сверяем корни с ОДЗ ($x \ge 0$):

Корень $x_1 = 2$ подходит, так как $2 \ge 0$.

Корень $x_2 = -\frac{1}{2}$ не подходит, так как $-\frac{1}{2} < 0$.

Ответ: $2$.

в) $\sqrt{2x + 5} = x + 1$

Данное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна, а подкоренное выражение равно квадрату правой части:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 2x + 5 = (x + 1)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge -1$. Это условие для проверки корней.

Решаем второе уравнение:

$2x + 5 = x^2 + 2x + 1$

$x^2 = 4$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Проверяем корни по условию $x \ge -1$:

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge -1$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge -1$, значит, это посторонний корень.

Ответ: $2$.

г) $\sqrt{3x + 7} = 2x + 3$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 2x + 3 \ge 0 \\ 3x + 7 = (2x + 3)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства $2x \ge -3 \implies x \ge -1.5$.

Решаем второе уравнение:

$3x + 7 = 4x^2 + 12x + 9$

$4x^2 + 9x + 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 = 7^2$

$x_1 = \frac{-9 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} = -0.25$

$x_2 = \frac{-9 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2$

Проверяем корни по условию $x \ge -1.5$:

Корень $x_1 = -0.25$ удовлетворяет условию $-0.25 \ge -1.5$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge -1.5$, это посторонний корень.

Ответ: $-0.25$.

д) $\sqrt{2x^2 - 4x + 1} = x + 1$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 2x^2 - 4x + 1 = (x + 1)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства $x \ge -1$.

Решаем второе уравнение:

$2x^2 - 4x + 1 = x^2 + 2x + 1$

$2x^2 - x^2 - 4x - 2x + 1 - 1 = 0$

$x^2 - 6x = 0$

$x(x - 6) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Проверяем оба корня по условию $x \ge -1$:

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 \ge -1$.

Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge -1$.

Оба корня подходят.

Ответ: $0; 6$.

е) $\sqrt{3x^2 - 4x + 1} = x - 1$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 3x^2 - 4x + 1 = (x - 1)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства $x \ge 1$.

Решаем второе уравнение:

$3x^2 - 4x + 1 = x^2 - 2x + 1$

$3x^2 - x^2 - 4x + 2x + 1 - 1 = 0$

$2x^2 - 2x = 0$

$2x(x - 1) = 0$

Получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Проверяем корни по условию $x \ge 1$:

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 \ge 1$, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge 1$.

Ответ: $1$.