Номер 8.2, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
§ 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.2, страница 228.
№8.2 (с. 228)
Условие. №8.2 (с. 228)
скриншот условия

Объясните, в результате какого преобразования переход от первого уравнения ко второму приводит к появлению посторонних корней. Подберите корень второго уравнения, посторонний для первого уравнения (8.2—8.4):
8.2 а) $x = 2, x^2 = 4;$
б) $\log_3 x^2 = \log_3 x, x^2 = x;$
в) $\frac{(x - 4) - (2x - 3)}{x^2 - 1} = 0, (x - 4) - (2x - 3) = 0;$
г) $x^2 + 3x + \sqrt{x} = \sqrt{x + 4}, x^2 + 3x - 4 = 0.$
Решение 1. №8.2 (с. 228)




Решение 2. №8.2 (с. 228)

Решение 3. №8.2 (с. 228)


Решение 4. №8.2 (с. 228)
а)
Переход от уравнения $x = 2$ к уравнению $x^2 = 4$ осуществляется путем возведения обеих частей уравнения в квадрат.
Такое преобразование не является равносильным, так как оно может добавлять новые корни. Уравнение $(f(x))^2 = (g(x))^2$ является следствием уравнения $f(x) = g(x)$, но равносильно оно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$.
В данном случае, уравнение $x^2 = 4$ равносильно совокупности $[x=2, x=-2]$. Первоначальное уравнение $x=2$ имеет только один корень $x=2$. Следовательно, корень $x=-2$ является посторонним, так как он удовлетворяет второму уравнению, но не первому.
Ответ: посторонний корень $x = -2$.
б)
Переход от уравнения $\log_3 x^2 = \log_3 x$ к уравнению $x^2 = x$ осуществляется путем потенцирования, то есть избавления от знака логарифма.
Это преобразование приводит к появлению посторонних корней из-за расширения области допустимых значений (ОДЗ).
ОДЗ первого уравнения определяется условиями $x^2 > 0$ и $x > 0$. Из системы $\left\{\begin{array}{l}x \neq 0 \\ x > 0\end{array}\right.$ следует, что ОДЗ: $x > 0$.
Второе уравнение $x^2 = x$ является полиномиальным и определено для всех действительных $x$.
Решим второе уравнение: $x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$. Его корни $x=0$ и $x=1$.
Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ первого уравнения ($1>0$). Корень $x=0$ не удовлетворяет ОДЗ первого уравнения, так как выражение $\log_3 x$ при $x=0$ не определено.
Ответ: посторонний корень $x = 0$.
в)
Переход от уравнения $\frac{(x - 4) - (2x - 3)}{x^2 - 1} = 0$ ко второму уравнению $(x - 4) - (2x - 3) = 0$ происходит в результате избавления от знаменателя.
Это преобразование не является равносильным, так как не учитывается условие, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
ОДЗ первого уравнения: $x^2 - 1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Решим второе уравнение: $(x - 4) - (2x - 3) = 0 \implies x - 4 - 2x + 3 = 0 \implies -x - 1 = 0 \implies x = -1$.
Найденный корень $x=-1$ не входит в ОДЗ первого уравнения, так как при этом значении знаменатель $x^2-1$ обращается в ноль. Следовательно, $x=-1$ является посторонним корнем.
Ответ: посторонний корень $x = -1$.
г)
Переход от уравнения $x^2 + 3x + \sqrt{x} = \sqrt{x} + 4$ к уравнению $x^2 + 3x - 4 = 0$ осуществляется путем вычитания слагаемого $\sqrt{x}$ из обеих частей уравнения.
Это преобразование приводит к расширению ОДЗ. В первом уравнении присутствует выражение $\sqrt{x}$, которое определено только для $x \ge 0$. Таким образом, ОДЗ первого уравнения — это $x \in [0, +\infty)$.
Второе уравнение $x^2 + 3x - 4 = 0$ является квадратным и определено для всех действительных чисел $x$.
Решим второе уравнение. По теореме Виета, его корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ первого уравнения ($1 \ge 0$). Корень $x=-4$ не удовлетворяет ОДЗ ($-4 < 0$), так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.
Ответ: посторонний корень $x = -4$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 8.2 расположенного на странице 228 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8.2 (с. 228), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.