Номер 8.2, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 8. Уравнения-следствия - номер 8.2, страница 228.

Условие.

Объясните, в результате какого преобразования переход от первого уравнения ко второму приводит к появлению посторонних корней. Подберите корень второго уравнения, посторонний для первого уравнения (8.2—8.4):

8.2 а) $x = 2, x^2 = 4;$

б) $\log_3 x^2 = \log_3 x, x^2 = x;$

в) $\frac{(x - 4) - (2x - 3)}{x^2 - 1} = 0, (x - 4) - (2x - 3) = 0;$

г) $x^2 + 3x + \sqrt{x} = \sqrt{x + 4}, x^2 + 3x - 4 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Переход от уравнения $x = 2$ к уравнению $x^2 = 4$ осуществляется путем возведения обеих частей уравнения в квадрат.

Такое преобразование не является равносильным, так как оно может добавлять новые корни. Уравнение $(f(x))^2 = (g(x))^2$ является следствием уравнения $f(x) = g(x)$, но равносильно оно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$.

В данном случае, уравнение $x^2 = 4$ равносильно совокупности $[x=2, x=-2]$. Первоначальное уравнение $x=2$ имеет только один корень $x=2$. Следовательно, корень $x=-2$ является посторонним, так как он удовлетворяет второму уравнению, но не первому.

Ответ: посторонний корень $x = -2$.

б)

Переход от уравнения $\log_3 x^2 = \log_3 x$ к уравнению $x^2 = x$ осуществляется путем потенцирования, то есть избавления от знака логарифма.

Это преобразование приводит к появлению посторонних корней из-за расширения области допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ первого уравнения определяется условиями $x^2 > 0$ и $x > 0$. Из системы $\left\{\begin{array}{l}x \neq 0 \\ x > 0\end{array}\right.$ следует, что ОДЗ: $x > 0$.

Второе уравнение $x^2 = x$ является полиномиальным и определено для всех действительных $x$.

Решим второе уравнение: $x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$. Его корни $x=0$ и $x=1$.

Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ первого уравнения ($1>0$). Корень $x=0$ не удовлетворяет ОДЗ первого уравнения, так как выражение $\log_3 x$ при $x=0$ не определено.

Ответ: посторонний корень $x = 0$.

в)

Переход от уравнения $\frac{(x - 4) - (2x - 3)}{x^2 - 1} = 0$ ко второму уравнению $(x - 4) - (2x - 3) = 0$ происходит в результате избавления от знаменателя.

Это преобразование не является равносильным, так как не учитывается условие, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

ОДЗ первого уравнения: $x^2 - 1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Решим второе уравнение: $(x - 4) - (2x - 3) = 0 \implies x - 4 - 2x + 3 = 0 \implies -x - 1 = 0 \implies x = -1$.

Найденный корень $x=-1$ не входит в ОДЗ первого уравнения, так как при этом значении знаменатель $x^2-1$ обращается в ноль. Следовательно, $x=-1$ является посторонним корнем.

Ответ: посторонний корень $x = -1$.

г)

Переход от уравнения $x^2 + 3x + \sqrt{x} = \sqrt{x} + 4$ к уравнению $x^2 + 3x - 4 = 0$ осуществляется путем вычитания слагаемого $\sqrt{x}$ из обеих частей уравнения.

Это преобразование приводит к расширению ОДЗ. В первом уравнении присутствует выражение $\sqrt{x}$, которое определено только для $x \ge 0$. Таким образом, ОДЗ первого уравнения — это $x \in [0, +\infty)$.

Второе уравнение $x^2 + 3x - 4 = 0$ является квадратным и определено для всех действительных чисел $x$.

Решим второе уравнение. По теореме Виета, его корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.

Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ первого уравнения ($1 \ge 0$). Корень $x=-4$ не удовлетворяет ОДЗ ($-4 < 0$), так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Ответ: посторонний корень $x = -4$.