Номер 7.29, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.29, страница 225.

7.29 a) $5^{x-1} > 4^x$;

б) $4^x < 5^{x+1}$;

в) $15^{x-4} > 3^{x-3}$;

г) $6^{x+5} < 3^{x+6}$.

а) Исходное неравенство: $5^{x-1} > 4^x$.
Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем левую часть: $\frac{5^x}{5} > 4^x$.
Разделим обе части неравенства на $4^x$ (так как $4^x > 0$, знак неравенства не меняется) и умножим на 5:
$\frac{5^x}{4^x} > 5$
Применяя свойство $\frac{a^c}{b^c} = (\frac{a}{b})^c$, получаем:
$(\frac{5}{4})^x > 5$
Прологарифмируем обе части по основанию $\frac{5}{4}$. Так как основание $\frac{5}{4} > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:
$\log_{\frac{5}{4}}((\frac{5}{4})^x) > \log_{\frac{5}{4}}(5)$
Используя основное логарифмическое тождество $\log_a(a^b)=b$, получаем:
$x > \log_{\frac{5}{4}}(5)$

Ответ: $x \in (\log_{\frac{5}{4}}(5); +\infty)$

б) Исходное неравенство: $4^x < 5^{x+1}$.
Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем правую часть: $4^x < 5^x \cdot 5$.
Разделим обе части неравенства на $5^x$ (так как $5^x > 0$, знак неравенства не меняется):
$\frac{4^x}{5^x} < 5$
Применяя свойство $\frac{a^c}{b^c} = (\frac{a}{b})^c$, получаем:
$(\frac{4}{5})^x < 5$
Прологарифмируем обе части по основанию $\frac{4}{5}$. Так как основание $0 < \frac{4}{5} < 1$, логарифмическая функция является убывающей, и знак неравенства меняется на противоположный:
$\log_{\frac{4}{5}}((\frac{4}{5})^x) > \log_{\frac{4}{5}}(5)$
Используя тождество $\log_a(a^b)=b$, получаем:
$x > \log_{\frac{4}{5}}(5)$

Ответ: $x \in (\log_{\frac{4}{5}}(5); +\infty)$

в) Исходное неравенство: $15^{x-4} > 3^{x-3}$.
Представим основание 15 как произведение $3 \cdot 5$: $(3 \cdot 5)^{x-4} > 3^{x-3}$.
Раскроем скобки в левой части: $3^{x-4} \cdot 5^{x-4} > 3^{x-3}$.
Разделим обе части неравенства на $3^{x-4}$ (так как $3^{x-4} > 0$, знак неравенства не меняется):
$5^{x-4} > \frac{3^{x-3}}{3^{x-4}}$
Упростим правую часть, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$5^{x-4} > 3^{(x-3)-(x-4)}$
$5^{x-4} > 3^{1}$, то есть $5^{x-4} > 3$.
Прологарифмируем обе части по основанию 5. Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$\log_5(5^{x-4}) > \log_5(3)$
$x-4 > \log_5(3)$
$x > 4 + \log_5(3)$

Ответ: $x \in (4 + \log_5(3); +\infty)$

г) Исходное неравенство: $6^{x+5} < 3^{x+6}$.
Представим основание 6 как произведение $2 \cdot 3$: $(2 \cdot 3)^{x+5} < 3^{x+6}$.
Раскроем скобки в левой части: $2^{x+5} \cdot 3^{x+5} < 3^{x+6}$.
Разделим обе части неравенства на $3^{x+5}$ (так как $3^{x+5} > 0$, знак неравенства не меняется):
$2^{x+5} < \frac{3^{x+6}}{3^{x+5}}$
Упростим правую часть, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{x+5} < 3^{(x+6)-(x+5)}$
$2^{x+5} < 3^{1}$, то есть $2^{x+5} < 3$.
Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$\log_2(2^{x+5}) < \log_2(3)$
$x+5 < \log_2(3)$
$x < \log_2(3) - 5$

Ответ: $x \in (-\infty; \log_2(3) - 5)$