Номер 7.30, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.30, страница 225.

7.30 a) $5^{x^2 - 2x} > 2^{2x - 2};$

В) $3^{x^2 - x} > 5^{x - 1};$

Б) $3^{x^2 - x} < 2^{1 - x};$

Г) $7^{x^2 - 5x} < 6^{5 - x}.$

а) Дано показательное неравенство $5^{x^2-2x} > 2^{x-2}$.

Заметим, что показатель степени в левой части можно разложить на множители: $x^2-2x = x(x-2)$. Это позволяет увидеть общий множитель $(x-2)$ в показателях обеих частей неравенства. Неравенство принимает вид:

$5^{x(x-2)} > 2^{x-2}$

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 5. Так как основание логарифма $5 > 1$, знак неравенства сохраняется.

$\log_5(5^{x(x-2)}) > \log_5(2^{x-2})$

$x(x-2) > (x-2)\log_5(2)$

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки.

$x(x-2) - (x-2)\log_5(2) > 0$

$(x-2)(x - \log_5(2)) > 0$

Полученное квадратное неравенство решим методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(x-2)(x - \log_5(2)) = 0$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = \log_5(2)$.

Оценим значение $\log_5(2)$. Поскольку $5^0 = 1$ и $5^1 = 5$, то $1 < 2 < 5$, из чего следует, что $0 < \log_5(2) < 1$. Таким образом, $\log_5(2) < 2$.

Графиком функции $y = (x-2)(x - \log_5(2))$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется для значений $x$, которые лежат вне интервала между корнями.

Таким образом, решением является объединение интервалов $x < \log_5(2)$ и $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; \log_5(2)) \cup (2; +\infty)$.

б) Дано показательное неравенство $3^{x^2-x} < 2^{1-x}$.

Преобразуем показатели степеней, чтобы выделить общий множитель. $x^2-x = x(x-1)$ и $1-x = -(x-1)$. Неравенство можно переписать в виде:

$3^{x(x-1)} < 2^{-(x-1)}$

$3^{x(x-1)} < (1/2)^{x-1}$

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 3. Так как $3 > 1$, знак неравенства не меняется.

$\log_3(3^{x(x-1)}) < \log_3((1/2)^{x-1})$

$x(x-1) < (x-1)\log_3(1/2)$

Перенесем все в левую часть и вынесем $(x-1)$ за скобки.

$x(x-1) - (x-1)\log_3(1/2) < 0$

$(x-1)(x - \log_3(1/2)) < 0$

Используя свойство логарифма $\log_a(1/b) = -\log_a(b)$, получаем:

$(x-1)(x + \log_3(2)) < 0$

Корни этого квадратного неравенства: $x_1 = 1$ и $x_2 = -\log_3(2)$.

Оценим значение $-\log_3(2)$. Так как $3^0 < 2 < 3^1$, то $0 < \log_3(2) < 1$, и $-1 < -\log_3(2) < 0$.

Парабола $y = (x-1)(x + \log_3(2))$ ветвями направлена вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, $-\log_3(2) < x < 1$.

Ответ: $x \in (-\log_3(2); 1)$.

в) Дано показательное неравенство $3^{x^2-x} > 5^{x-1}$.

Выделим в показателях общий множитель $(x-1)$. $x^2-x = x(x-1)$. Неравенство примет вид:

$3^{x(x-1)} > 5^{x-1}$

Прологарифмируем обе части по основанию 3. Знак неравенства сохранится, так как $3 > 1$.

$\log_3(3^{x(x-1)}) > \log_3(5^{x-1})$

$x(x-1) > (x-1)\log_3(5)$

Перенесем все члены в левую часть и факторизуем.

$x(x-1) - (x-1)\log_3(5) > 0$

$(x-1)(x - \log_3(5)) > 0$

Корни квадратного неравенства: $x_1 = 1$ и $x_2 = \log_3(5)$.

Оценим значение $\log_3(5)$. Так как $3^1 = 3$ и $3^2 = 9$, то $3 < 5 < 9$, и значит $1 < \log_3(5) < 2$.

Парабола $y = (x-1)(x - \log_3(5))$ ветвями направлена вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Таким образом, $x < 1$ или $x > \log_3(5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (\log_3(5); +\infty)$.

г) Дано показательное неравенство $7^{x^2-5x} < 6^{5-x}$.

Преобразуем показатели: $x^2-5x = x(x-5)$ и $5-x = -(x-5)$. Неравенство примет вид:

$7^{x(x-5)} < 6^{-(x-5)}$

$7^{x(x-5)} < (1/6)^{x-5}$

Прологарифмируем обе части по основанию 7. Знак неравенства сохранится, так как $7 > 1$.

$\log_7(7^{x(x-5)}) < \log_7((1/6)^{x-5})$

$x(x-5) < (x-5)\log_7(1/6)$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель.

$x(x-5) - (x-5)\log_7(1/6) < 0$

$(x-5)(x - \log_7(1/6)) < 0$

Используя свойство логарифма $\log_a(1/b) = -\log_a(b)$, получаем:

$(x-5)(x + \log_7(6)) < 0$

Корни этого квадратного неравенства: $x_1 = 5$ и $x_2 = -\log_7(6)$.

Оценим значение $-\log_7(6)$. Так как $7^0 = 1$ и $7^1 = 7$, то $1 < 6 < 7$, следовательно $0 < \log_7(6) < 1$, и $-1 < -\log_7(6) < 0$.

Парабола $y = (x-5)(x + \log_7(6))$ ветвями направлена вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, $-\log_7(6) < x < 5$.

Ответ: $x \in (-\log_7(6); 5)$.