Номер 7.25, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.25, страница 224.

7.25 a) $(6 \sin^2 x - 5)^{13} < (2 \sin^2 x - 2)^{13};$

б) $(6 \cos^2 x - 3)^3 > (2 \cos^2 x - 1)^3;$

в) $(2^x + 7)^9 > (3 \cdot 2^x + 1)^9;$

г) $(2 \cdot 3^x - 1)^{51} < (3^x + 8)^{51}.$

а) $(6 \sin^2 x - 5)^{13} < (2 \sin^2 x - 2)^{13}$

Так как показатель степени 13 — нечетное число, функция $y=t^{13}$ является возрастающей на всей числовой оси. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству:

$6 \sin^2 x - 5 < 2 \sin^2 x - 2$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть, а постоянные — в правую:

$6 \sin^2 x - 2 \sin^2 x < 5 - 2$

$4 \sin^2 x < 3$

Разделим обе части на 4:

$\sin^2 x < \frac{3}{4}$

Это неравенство эквивалентно следующему:

$|\sin x| < \sqrt{\frac{3}{4}}$

$|\sin x| < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Что в свою очередь равносильно двойному неравенству:

$-\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решением этого тригонометрического неравенства на единичной окружности являются дуги, заключенные между углами $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$, а также между $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$. Общее решение можно записать в виде совокупности интервалов $(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k) \cup (\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Данное решение можно представить в более компактной форме, объединив серии решений:

$-\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{\pi}{3} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $(6 \cos^2 x - 3)^3 > (2 \cos^2 x - 1)^3$

Показатель степени 3 — нечетное число, поэтому неравенство равносильно следующему:

$6 \cos^2 x - 3 > 2 \cos^2 x - 1$

Сгруппируем члены:

$6 \cos^2 x - 2 \cos^2 x > 3 - 1$

$4 \cos^2 x > 2$

$\cos^2 x > \frac{1}{2}$

Воспользуемся формулой понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$:

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} > \frac{1}{2}$

Умножим обе части на 2:

$1 + \cos(2x) > 1$

$\cos(2x) > 0$

Решением этого неравенства для аргумента $2x$ является интервал:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделив все части неравенства на 2, получим решение для $x$:

$-\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) $(2^x + 7)^9 > (3 \cdot 2^x + 1)^9$

Поскольку показатель степени 9 — нечетное число, данное неравенство эквивалентно неравенству:

$2^x + 7 > 3 \cdot 2^x + 1$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

$t + 7 > 3t + 1$

Решим линейное неравенство относительно $t$:

$7 - 1 > 3t - t$

$6 > 2t$

$t < 3$

С учетом условия $t > 0$, получаем двойное неравенство $0 < t < 3$.

Вернемся к исходной переменной:

$0 < 2^x < 3$

Неравенство $2^x > 0$ выполняется для всех действительных $x$. Решим неравенство $2^x < 3$.

Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\log_2(2^x) < \log_2 3$

$x < \log_2 3$

Ответ: $(-\infty; \log_2 3)$.

г) $(2 \cdot 3^x - 1)^{51} < (3^x + 8)^{51}$

Показатель степени 51 — нечетное число, поэтому неравенство равносильно:

$2 \cdot 3^x - 1 < 3^x + 8$

Введем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.

$2t - 1 < t + 8$

Решим полученное линейное неравенство:

$2t - t < 8 + 1$

$t < 9$

Учитывая, что $t > 0$, имеем $0 < t < 9$.

Произведем обратную замену:

$0 < 3^x < 9$

Неравенство $3^x > 0$ верно для всех $x$. Решим неравенство $3^x < 9$.

Представим 9 как степень с основанием 3:

$3^x < 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, функция $y=3^x$ является возрастающей. Следовательно, можно перейти к сравнению показателей:

$x < 2$

Ответ: $(-\infty; 2)$.