Номер 7.33, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.33, страница 225.

7.33* ИССЛЕДУЕМ.

При каких значениях параметра $a$ все решения неравенства $2x^2 + 2x - a^2 < 4^x$ содержатся в интервале $(-1; 1)$?

Преобразуем исходное неравенство, приведя обе части к основанию 2:

$2^{x^2+2x-a^2} < (2^2)^x$

$2^{x^2+2x-a^2} < 2^{2x}$

Так как основание степени $2 > 1$, то неравенство для показателей степеней будет иметь тот же знак, что и исходное неравенство. Переходим к неравенству для показателей:

$x^2 + 2x - a^2 < 2x$

Упростим полученное неравенство, вычтя $2x$ из обеих частей:

$x^2 - a^2 < 0$

Разложим левую часть на множители как разность квадратов:

$(x-a)(x+a) < 0$

Решением этого квадратного неравенства является интервал, заключенный между его корнями $x_1 = a$ и $x_2 = -a$.

Чтобы определить этот интервал, рассмотрим возможные значения $a$:

1. Если $a > 0$, то $-a < a$. Решением является интервал $x \in (-a, a)$.

2. Если $a < 0$, то $a < -a$. Решением является интервал $x \in (a, -a)$.

3. Если $a = 0$, то неравенство принимает вид $x^2 < 0$. Это неравенство не имеет действительных решений, то есть множество решений пустое ($\emptyset$).

Все три случая можно объединить, используя модуль параметра $a$. Решением неравенства является интервал $(-|a|, |a|)$. Заметим, что при $a=0$ мы получаем интервал $(0,0)$, что соответствует пустому множеству.

По условию задачи все решения неравенства должны содержаться в интервале $(-1; 1)$. Это означает, что найденное множество решений $(-|a|, |a|)$ должно быть подмножеством интервала $(-1; 1)$:

$(-|a|, |a|) \subseteq (-1, 1)$

Это включение будет верным тогда и только тогда, когда концы интервала $(-|a|, |a|)$ лежат внутри или совпадают с концами интервала $(-1, 1)$. Это можно записать в виде системы неравенств:

$-1 \le -|a|$ и $|a| \le 1$.

Рассмотрим первое неравенство: $-1 \le -|a|$. Умножив обе его части на -1 и изменив знак неравенства на противоположный, получим $|a| \le 1$.

Второе неравенство в системе также имеет вид $|a| \le 1$. Таким образом, вся система равносильна одному неравенству:

$|a| \le 1$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-1 \le a \le 1$

Следовательно, все решения исходного неравенства содержатся в интервале $(-1; 1)$ при значениях параметра $a$, принадлежащих отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: $a \in [-1; 1]$.