Номер 8.6, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.6, страница 230.

8.6° a) Объясните, почему возведение уравнения в чётную степень может привести к появлению корней, посторонних для исходного уравнения.

б)* Докажите утверждение о возведении уравнения в чётную степень.

в) Какое уравнение называют иррациональным? Как можно решать иррациональное уравнение?

а) Объясните, почему возведение уравнения в чётную степень может привести к появлению корней, посторонних для исходного уравнения.

Возведение в чётную степень не является равносильным преобразованием уравнения, поскольку оно "нечувствительно" к знаку выражений. Если два числа равны, то их квадраты (и любые другие чётные степени) тоже равны. Однако, если квадраты двух чисел равны, это не означает, что сами числа были равны. Они могли быть и противоположными по знаку.

Рассмотрим исходное уравнение:

$f(x) = g(x)$

Возведём обе его части в чётную степень $2k$ (где $k$ – натуральное число):

$(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$

Это уравнение равносильно тому, что $|f(x)| = |g(x)|$, что, в свою очередь, эквивалентно совокупности двух уравнений:

$f(x) = g(x)$ (наше исходное уравнение)

$f(x) = -g(x)$

Таким образом, решая уравнение, полученное возведением в чётную степень, мы находим корни не только исходного уравнения, но и уравнения $f(x) = -g(x)$. Если второе уравнение имеет корни, которые не являются корнями первого, то они и будут посторонними для исходного уравнения.

Пример:

Дано уравнение $\sqrt{x+7} = x-5$. Его единственным корнем является $x=9$.

Возведём обе части в квадрат:

$x+7 = (x-5)^2$

$x+7 = x^2 - 10x + 25$

$x^2 - 11x + 18 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1=9$ и $x_2=2$.

Корень $x=9$ является корнем исходного уравнения. Корень $x=2$ является посторонним, так как он является решением уравнения $\sqrt{x+7} = -(x-5)$, а не исходного. При подстановке $x=2$ в исходное уравнение получаем неверное равенство $\sqrt{9} = -3$, то есть $3 = -3$.

Ответ: Возведение уравнения $f(x) = g(x)$ в чётную степень $2k$ приводит к уравнению-следствию $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$, которое равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$. Корни второго уравнения, не являющиеся корнями первого, и есть посторонние корни.

б)* Докажите утверждение о возведении уравнения в чётную степень.

Утверждение: Множество корней уравнения $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$ (где $k \in N$) содержит в себе всё множество корней уравнения $f(x) = g(x)$.

Доказательство:

Доказательство состоит из двух частей.

Часть 1. Все корни исходного уравнения являются корнями нового уравнения.

Пусть $x_0$ – произвольный корень исходного уравнения $f(x) = g(x)$. Это означает, что при подстановке $x_0$ в уравнение мы получаем верное числовое равенство:

$f(x_0) = g(x_0)$

Согласно свойствам числовых равенств, мы можем возвести обе его части в одну и ту же натуральную степень $2k$. Равенство при этом сохранится:

$(f(x_0))^{2k} = (g(x_0))^{2k}$

Это означает, что $x_0$ является корнем уравнения $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$. Поскольку мы выбрали произвольный корень $x_0$, это верно для всех корней исходного уравнения. Таким образом, при возведении в чётную степень потеря корней не происходит.

Часть 2. В новом уравнении могут появиться посторонние корни.

Рассмотрим уравнение, полученное после возведения в степень:

$(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$

Перенесем все члены в левую часть:

$(f(x))^{2k} - (g(x))^{2k} = 0$

Это выражение является разностью квадратов $(f(x)^k)^2 - (g(x)^k)^2 = 0$. Разложим его на множители:

$(f(x)^k - g(x)^k)(f(x)^k + g(x)^k) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$f(x)^k - g(x)^k = 0 \implies f(x)^k = g(x)^k$

$f(x)^k + g(x)^k = 0 \implies f(x)^k = -g(x)^k$

Эта совокупность, в свою очередь, равносильна совокупности $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$ (поскольку если $k$ нечётное, это очевидно; если $k$ чётное, то $f(x)^k=g(x)^k \Leftrightarrow |f(x)|=|g(x)| \Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)$, а $f(x)^k=-g(x)^k$ возможно только при $f(x)=g(x)=0$, что входит в первое уравнение).

Таким образом, множество решений уравнения $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$ есть объединение множеств решений уравнений $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$. Если уравнение $f(x) = -g(x)$ имеет корни, отличные от корней $f(x)=g(x)$, они будут являться посторонними для исходного уравнения. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что любой корень уравнения $f(x) = g(x)$ является корнем уравнения $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$, а уравнение $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$ равносильно совокупности уравнений $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$, что объясняет появление посторонних корней.

в) Какое уравнение называют иррациональным? Как можно решать иррациональное уравнение?

Иррациональным уравнением называют уравнение, в котором переменная (неизвестное) находится под знаком корня (радикала) или в основании степени с дробным показателем.

Примеры иррациональных уравнений:

$\sqrt{x-1} + \sqrt{x+2} = 3$

$\sqrt[3]{x^2 - 1} = x-1$

$x^{\frac{2}{3}} - 5x^{\frac{1}{3}} + 6 = 0$

Способы решения иррациональных уравнений:

Основным методом решения является метод возведения обеих частей уравнения в степень. Цель этого метода — избавиться от знаков корня и свести уравнение к рациональному (например, алгебраическому).

Алгоритм решения:

1. По возможности уединить один из радикалов в одной из частей уравнения (например, перенести все остальные члены в другую часть).
2. Возвести обе части уравнения в степень, равную показателю уединенного корня. Для квадратного корня — в квадрат, для кубического — в куб, и т.д.
3. Если уравнение все еще содержит радикалы, повторить шаги 1 и 2 до тех пор, пока все они не будут устранены.
4. Решить полученное рациональное уравнение.
5. Обязательно выполнить проверку всех найденных корней путем их подстановки в исходное иррациональное уравнение. Проверка необходима, так как при возведении в чётную степень могут возникать посторонние корни.

Другие методы решения:

• Метод введения новой переменной (замены). Используется, когда в уравнение входят повторяющиеся выражения с радикалами. Например, в уравнении $x^2 + 3\sqrt{x^2-4} - 10 = 0$ можно сделать замену $y = \sqrt{x^2-4}$.
• Решение с помощью анализа области допустимых значений (ОДЗ). Иногда, определив ОДЗ для переменной (условия, при которых все выражения под корнями чётной степени неотрицательны), можно сразу отсеять некоторые посторонние корни или даже доказать, что уравнение не имеет решений. Например, для уравнения вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильным переходом будет решение системы:$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$При таком подходе проверка не требуется, так как переход является равносильным.

Ответ: Иррациональное уравнение — это уравнение, содержащее переменную под знаком корня. Основной метод его решения — возведение обеих частей в степень для устранения радикала с последующей обязательной проверкой корней. Также применяются метод замены переменной и анализ области допустимых значений.