Номер 8.12, страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.12, страница 231.

8.12* ИССЛЕДУЕМ.

При каких значениях параметра $a$ уравнение $\sqrt{x^2 + 6x - 2a} = x + 2$ имеет единственный корень?

Исходное уравнение $\sqrt{x^2 + 6x - 2a} = x + 2$ является иррациональным. Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$$ \begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} $$

Применительно к нашему случаю, система будет выглядеть так:

$$ \begin{cases} x^2 + 6x - 2a = (x + 2)^2 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases} $$

Обратите внимание, что условие $x^2 + 6x - 2a \ge 0$ (подкоренное выражение должно быть неотрицательным) выполняется автоматически, так как $x^2 + 6x - 2a$ приравнивается к квадрату $(x+2)^2$, который всегда неотрицателен.

Решим первое уравнение системы:

$$ x^2 + 6x - 2a = x^2 + 4x + 4 $$

Упростим уравнение, сократив $x^2$ в обеих частях:

$$ 6x - 2a = 4x + 4 $$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а остальные — в правую:

$$ 6x - 4x = 2a + 4 $$

$$ 2x = 2a + 4 $$

$$ x = a + 2 $$

Мы получили, что при любом значении параметра $a$ первое уравнение системы имеет единственный корень $x = a + 2$.

Теперь нужно, чтобы этот корень удовлетворял второму условию системы, то есть неравенству $x + 2 \ge 0$. Подставим в него найденное выражение для $x$:

$$ (a + 2) + 2 \ge 0 $$

$$ a + 4 \ge 0 $$

$$ a \ge -4 $$

Таким образом, мы получили следующее:

• Если $a \ge -4$, то корень $x = a + 2$ существует и удовлетворяет всем условиям системы. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень.
• Если $a < -4$, то корень $x = a + 2$, полученный из первого уравнения, не удовлетворяет условию $x + 2 \ge 0$. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

Значит, уравнение имеет единственный корень при $a \ge -4$.

Ответ: $a \in [-4; +\infty)$.