Номер 8.16, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.16, страница 232.

8.16* а) $log_{11} \left( \frac{x+20}{x} \right) = \frac{\log_2 41}{\log_2 11};$

б) $log_{13} \left( \frac{x+11}{x} \right) = \frac{\log_3 23}{\log_3 13};$

в) $log_{5} \left( \frac{x+10}{x} \right) = \frac{\log_{11} 21}{\log_{11} 5};$

г) $log_{7} \left( \frac{x+15}{x} \right) = \frac{\log_{13} 31}{\log_{13} 7}.$

а)

Данное уравнение: $ \log_{11} \left(\frac{x + 20}{x}\right) = \frac{\log_2 41}{\log_2 11} $.
В первую очередь найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$ \frac{x + 20}{x} > 0 $.
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = -20$. Нуль знаменателя: $x = 0$.
На числовой прямой это дает интервалы $(-\infty; -20)$, $(-20; 0)$ и $(0; +\infty)$.
Проверяя знак дроби в каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $ x \in (-\infty; -20) \cup (0; +\infty) $.
Теперь преобразуем правую часть уравнения, используя формулу перехода к новому основанию логарифма: $ \frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a $.
$ \frac{\log_2 41}{\log_2 11} = \log_{11} 41 $.
Теперь уравнение выглядит так:
$ \log_{11} \left(\frac{x + 20}{x}\right) = \log_{11} 41 $.
Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:
$ \frac{x + 20}{x} = 41 $.
Решим это уравнение относительно $x$, умножив обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что уже учтено в ОДЗ):
$ x + 20 = 41x $
$ 41x - x = 20 $
$ 40x = 20 $
$ x = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} = 0.5 $.
Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. $ x = 0.5 $ входит в интервал $(0; +\infty)$, следовательно, является решением уравнения.
Ответ: $0.5$

б)

Данное уравнение: $ \log_{13} \left(\frac{x + 11}{x}\right) = \frac{\log_3 23}{\log_3 13} $.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным:
$ \frac{x + 11}{x} > 0 $.
Это неравенство верно при $ x \in (-\infty; -11) \cup (0; +\infty) $.
Используем формулу перехода к новому основанию для правой части:
$ \frac{\log_3 23}{\log_3 13} = \log_{13} 23 $.
Уравнение принимает вид:
$ \log_{13} \left(\frac{x + 11}{x}\right) = \log_{13} 23 $.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$ \frac{x + 11}{x} = 23 $.
Решаем уравнение:
$ x + 11 = 23x $
$ 23x - x = 11 $
$ 22x = 11 $
$ x = \frac{11}{22} = \frac{1}{2} = 0.5 $.
Найденный корень $ x = 0.5 $ удовлетворяет ОДЗ, так как $0.5 > 0$.
Ответ: $0.5$

в)

Данное уравнение: $ \log_{5} \left(\frac{x + 10}{x}\right) = \frac{\log_{11} 21}{\log_{11} 5} $.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным:
$ \frac{x + 10}{x} > 0 $.
Это неравенство верно при $ x \in (-\infty; -10) \cup (0; +\infty) $.
Используем формулу перехода к новому основанию для правой части:
$ \frac{\log_{11} 21}{\log_{11} 5} = \log_{5} 21 $.
Уравнение принимает вид:
$ \log_{5} \left(\frac{x + 10}{x}\right) = \log_{5} 21 $.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$ \frac{x + 10}{x} = 21 $.
Решаем уравнение:
$ x + 10 = 21x $
$ 21x - x = 10 $
$ 20x = 10 $
$ x = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} = 0.5 $.
Найденный корень $ x = 0.5 $ удовлетворяет ОДЗ, так как $0.5 > 0$.
Ответ: $0.5$

г)

Данное уравнение: $ \log_{7} \left(\frac{x + 15}{x}\right) = \frac{\log_{13} 31}{\log_{13} 7} $.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным:
$ \frac{x + 15}{x} > 0 $.
Это неравенство верно при $ x \in (-\infty; -15) \cup (0; +\infty) $.
Используем формулу перехода к новому основанию для правой части:
$ \frac{\log_{13} 31}{\log_{13} 7} = \log_{7} 31 $.
Уравнение принимает вид:
$ \log_{7} \left(\frac{x + 15}{x}\right) = \log_{7} 31 $.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$ \frac{x + 15}{x} = 31 $.
Решаем уравнение:
$ x + 15 = 31x $
$ 31x - x = 15 $
$ 30x = 15 $
$ x = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} = 0.5 $.
Найденный корень $ x = 0.5 $ удовлетворяет ОДЗ, так как $0.5 > 0$.
Ответ: $0.5$