Номер 8.15, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.15, страница 232.

8.15 a) $log_3(x^2 - 2x) = 1;$

б) $log_2(x^2 + 2x) = 3;$

в) $log_7(x^2 + 1,5x) = 0;$

г) $log_5(x^2 + 2\\frac{2}{3}x) = 0.$

а)

Дано уравнение $ \log_{3}(x^2 - 2x) = 1 $.

По определению логарифма, выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ x^2 - 2x > 0 $

$ x(x - 2) > 0 $

Решая это неравенство методом интервалов, получаем, что $ x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty) $.

Теперь решим само уравнение. По определению логарифма $ \log_{a}b = c \Leftrightarrow a^c = b $, получаем:

$ x^2 - 2x = 3^1 $

$ x^2 - 2x - 3 = 0 $

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета:

$ x_1 + x_2 = 2 $

$ x_1 \cdot x_2 = -3 $

Корни уравнения: $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -1 $.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ:

$ x_1 = 3 $. $ 3 \in (2; +\infty) $. Корень подходит.

$ x_2 = -1 $. $ -1 \in (-\infty; 0) $. Корень подходит.

Ответ: -1; 3.

б)

Дано уравнение $ \log_{2}(x^2 + 2x) = 3 $.

Найдем ОДЗ:

$ x^2 + 2x > 0 $

$ x(x + 2) > 0 $

Решая неравенство, получаем $ x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty) $.

Решим уравнение:

$ x^2 + 2x = 2^3 $

$ x^2 + 2x = 8 $

$ x^2 + 2x - 8 = 0 $

По теореме Виета:

$ x_1 + x_2 = -2 $

$ x_1 \cdot x_2 = -8 $

Корни уравнения: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -4 $.

Проверим корни по ОДЗ:

$ x_1 = 2 $. $ 2 \in (0; +\infty) $. Корень подходит.

$ x_2 = -4 $. $ -4 \in (-\infty; -2) $. Корень подходит.

Ответ: -4; 2.

в)

Дано уравнение $ \log_{7}(x^2 + 1,5x) = 0 $.

Найдем ОДЗ:

$ x^2 + 1,5x > 0 $

$ x(x + 1,5) > 0 $

Решая неравенство, получаем $ x \in (-\infty; -1,5) \cup (0; +\infty) $.

Решим уравнение:

$ x^2 + 1,5x = 7^0 $

$ x^2 + 1,5x = 1 $

$ x^2 + 1,5x - 1 = 0 $

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$ 2x^2 + 3x - 2 = 0 $

Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 $.

$ \sqrt{D} = 5 $.

Найдем корни:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5 $.

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2 $.

Проверим корни по ОДЗ:

$ x_1 = 0,5 $. $ 0,5 \in (0; +\infty) $. Корень подходит.

$ x_2 = -2 $. $ -2 \in (-\infty; -1,5) $. Корень подходит.

Ответ: -2; 0,5.

г)

Дано уравнение $ \log_{5}(x^2 + 2\frac{2}{3}x) = 0 $.

Преобразуем смешанную дробь: $ 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3} $. Уравнение примет вид: $ \log_{5}(x^2 + \frac{8}{3}x) = 0 $.

Найдем ОДЗ:

$ x^2 + \frac{8}{3}x > 0 $

$ x(x + \frac{8}{3}) > 0 $

Решая неравенство, получаем $ x \in (-\infty; -\frac{8}{3}) \cup (0; +\infty) $.

Решим уравнение:

$ x^2 + \frac{8}{3}x = 5^0 $

$ x^2 + \frac{8}{3}x = 1 $

$ x^2 + \frac{8}{3}x - 1 = 0 $

Умножим уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби:

$ 3x^2 + 8x - 3 = 0 $

Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 $.

$ \sqrt{D} = 10 $.

Найдем корни:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $.

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3 $.

Проверим корни по ОДЗ:

$ x_1 = \frac{1}{3} $. $ \frac{1}{3} \in (0; +\infty) $. Корень подходит.

$ x_2 = -3 $. Так как $ -3 = -\frac{9}{3} $, а $ -\frac{9}{3} < -\frac{8}{3} $, то $ -3 \in (-\infty; -\frac{8}{3}) $. Корень подходит.

Ответ: -3; $ \frac{1}{3} $.