Номер 8.8, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.8, страница 230.

Решите уравнение (8.8–8.11):

8.8 а) $\sqrt{x^2 - 4x + 1} = \sqrt{3x + 1};$

б) $\sqrt{2x^2 - 4x + 5} = \sqrt{3x^2 - x + 1};$

в) $\sqrt{x^2 - 3x} = \sqrt{4x - 10};$

г) $\sqrt{x^2 - 3x - 3} = \sqrt{2x^2 - 2x - 9}.$

а) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 4x + 1} = \sqrt{3x + 1}$.
Это иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$. Оно равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного возведением обеих частей в квадрат, и неравенства, обеспечивающего неотрицательность одного из подкоренных выражений (второе будет неотрицательным автоматически, так как оно равно первому).
$\begin{cases} x^2 - 4x + 1 = 3x + 1 \\ 3x + 1 \ge 0 \end{cases}$
Сначала решим уравнение:
$x^2 - 4x + 1 = 3x + 1$
$x^2 - 7x = 0$
$x(x - 7) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни неравенству $3x + 1 \ge 0$ (то есть $x \ge -1/3$).
При $x_1 = 0$: $3 \cdot 0 + 1 = 1 \ge 0$. Корень $x=0$ подходит.
При $x_2 = 7$: $3 \cdot 7 + 1 = 22 \ge 0$. Корень $x=7$ подходит.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $0; 7$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{2x^2 - 4x + 5} = \sqrt{3x^2 - x + 1}$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны. Получим уравнение-следствие:
$2x^2 - 4x + 5 = 3x^2 - x + 1$
Перенесем все члены в одну сторону:
$3x^2 - x + 1 - (2x^2 - 4x + 5) = 0$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а произведение равно $-4$. Корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.
Теперь необходимо выполнить проверку, подставив найденные корни в подкоренные выражения исходного уравнения, чтобы убедиться в их неотрицательности.
Проверка для $x_1 = -4$:
$2x^2 - 4x + 5 = 2(-4)^2 - 4(-4) + 5 = 2(16) + 16 + 5 = 32 + 16 + 5 = 53 \ge 0$.
$3x^2 - x + 1 = 3(-4)^2 - (-4) + 1 = 3(16) + 4 + 1 = 48 + 4 + 1 = 53 \ge 0$.
Корень $x=-4$ подходит.
Проверка для $x_2 = 1$:
$2x^2 - 4x + 5 = 2(1)^2 - 4(1) + 5 = 2 - 4 + 5 = 3 \ge 0$.
$3x^2 - x + 1 = 3(1)^2 - 1 + 1 = 3 \ge 0$.
Корень $x=1$ подходит.
Оба корня являются решениями.
Ответ: $-4; 1$.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 3x} = \sqrt{4x - 10}$.
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 3x = 4x - 10 \\ 4x - 10 \ge 0 \end{cases}$
Решим уравнение:
$x^2 - 3x - 4x + 10 = 0$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а произведение равно $10$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.
Проверим выполнение неравенства $4x - 10 \ge 0$ (то есть $x \ge 2.5$) для найденных корней.
При $x_1 = 2$: $4 \cdot 2 - 10 = 8 - 10 = -2 < 0$. Неравенство не выполняется, значит $x=2$ — посторонний корень.
При $x_2 = 5$: $4 \cdot 5 - 10 = 20 - 10 = 10 \ge 0$. Неравенство выполняется, значит $x=5$ — корень уравнения.
Ответ: $5$.

г) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 3x - 3} = \sqrt{2x^2 - 2x - 9}$.
Возводим обе части в квадрат:
$x^2 - 3x - 3 = 2x^2 - 2x - 9$
Переносим все в правую часть:
$2x^2 - 2x - 9 - (x^2 - 3x - 3) = 0$
$x^2 + x - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-6$. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Выполним проверку, подставив корни в одно из подкоренных выражений. Если оно будет неотрицательным, корень подходит.
Проверка для $x_1 = -3$:
$x^2 - 3x - 3 = (-3)^2 - 3(-3) - 3 = 9 + 9 - 3 = 15 \ge 0$.
(Для второго выражения: $2(-3)^2 - 2(-3) - 9 = 18 + 6 - 9 = 15 \ge 0$).
Корень $x=-3$ подходит.
Проверка для $x_2 = 2$:
$x^2 - 3x - 3 = (2)^2 - 3(2) - 3 = 4 - 6 - 3 = -5 < 0$.
Подкоренное выражение отрицательно, значит, $x=2$ — посторонний корень.
Ответ: $-3$.