Страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

8.17* a) $ \log_3(2 \cdot 3^x - 5) = \log_3(3^x + 4); $

б) $ \log_7(2 \cdot 4^x - 3) = \log_7(4^x + 1); $

в) $ \log_5(4^x - 3 \cdot 2^x) = \log_5(3 \cdot 2^x - 8); $

г) $ \log_4(9^x - 5 \cdot 3^x) = \log_4(7 \cdot 3^x - 27). $

а) $\log_3(2 \cdot 3^x - 5) = \log_3(3^x + 4)$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы. Это преобразование является равносильным при условии, что аргументы логарифмов положительны.
$2 \cdot 3^x - 5 = 3^x + 4$
Введем замену: пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.
$2t - 5 = t + 4$
$2t - t = 4 + 5$
$t = 9$
Возвращаемся к исходной переменной:
$3^x = 9$
$3^x = 3^2$
$x = 2$
Теперь выполним проверку, подставив найденное значение $x=2$ в аргументы исходных логарифмов, чтобы убедиться, что они положительны (область допустимых значений, ОДЗ):
1) $2 \cdot 3^2 - 5 = 2 \cdot 9 - 5 = 18 - 5 = 13 > 0$
2) $3^2 + 4 = 9 + 4 = 13 > 0$
Оба условия выполняются, следовательно, корень $x=2$ является решением уравнения.
Ответ: $2$

б) $\log_7(2 \cdot 4^x - 3) = \log_7(4^x + 1)$

Приравниваем аргументы логарифмов, так как их основания одинаковы:
$2 \cdot 4^x - 3 = 4^x + 1$
Сделаем замену: пусть $t = 4^x$, где $t > 0$.
$2t - 3 = t + 1$
$2t - t = 1 + 3$
$t = 4$
Выполняем обратную замену:
$4^x = 4$
$x = 1$
Проверяем ОДЗ для $x=1$:
1) $2 \cdot 4^1 - 3 = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5 > 0$
2) $4^1 + 1 = 4 + 1 = 5 > 0$
Оба аргумента положительны, значит, $x=1$ является решением.
Ответ: $1$

в) $\log_5(4^x - 3 \cdot 2^x) = \log_5(3 \cdot 2^x - 8)$

Приравниваем аргументы логарифмов:
$4^x - 3 \cdot 2^x = 3 \cdot 2^x - 8$
Заметим, что $4^x = (2^x)^2$. Введем замену: пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.
$t^2 - 3t = 3t - 8$
$t^2 - 6t + 8 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 6$
$t_1 \cdot t_2 = 8$
Корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 4$. Оба корня положительны.
Выполним обратную замену для каждого корня:
1) $2^x = 2 \implies x_1 = 1$
2) $2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x_2 = 2$
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:
$4^x - 3 \cdot 2^x > 0 \implies t^2 - 3t > 0 \implies t(t-3) > 0$
$3 \cdot 2^x - 8 > 0 \implies 3t - 8 > 0 \implies t > \frac{8}{3}$
Проверим $t_1=2$ (соответствует $x_1=1$):
$t_1 = 2$. Условие $t > \frac{8}{3}$ не выполняется, так как $2 < \frac{8}{3} \approx 2.67$. Следовательно, $x=1$ — посторонний корень.
Проверим $t_2=4$ (соответствует $x_2=2$):
$t_2 = 4$. Условие $t > \frac{8}{3}$ выполняется ($4 > \frac{8}{3}$).
Проверим второе условие: $t(t-3) > 0 \implies 4(4-3) = 4 > 0$. Условие выполняется.
Следовательно, решением является только $x=2$.
Ответ: $2$

г) $\log_4(9^x - 5 \cdot 3^x) = \log_4(7 \cdot 3^x - 27)$

Приравниваем аргументы логарифмов:
$9^x - 5 \cdot 3^x = 7 \cdot 3^x - 27$
Заметим, что $9^x = (3^x)^2$. Введем замену: пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
$t^2 - 5t = 7t - 27$
$t^2 - 12t + 27 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 12$
$t_1 \cdot t_2 = 27$
Корни уравнения: $t_1 = 3$, $t_2 = 9$. Оба корня положительны.
Выполним обратную замену для каждого корня:
1) $3^x = 3 \implies x_1 = 1$
2) $3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x_2 = 2$
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:
$9^x - 5 \cdot 3^x > 0 \implies t^2 - 5t > 0 \implies t(t-5) > 0$
$7 \cdot 3^x - 27 > 0 \implies 7t - 27 > 0 \implies t > \frac{27}{7}$
Проверим $t_1=3$ (соответствует $x_1=1$):
$t_1 = 3$. Условие $t > \frac{27}{7}$ не выполняется, так как $3 = \frac{21}{7} < \frac{27}{7} \approx 3.86$. Следовательно, $x=1$ — посторонний корень.
Проверим $t_2=9$ (соответствует $x_2=2$):
$t_2 = 9$. Условие $t > \frac{27}{7}$ выполняется ($9 > \frac{27}{7}$).
Проверим второе условие: $t(t-5) > 0 \implies 9(9-5) = 36 > 0$. Условие выполняется.
Следовательно, решением является только $x=2$.
Ответ: $2$

8.18* а) $log_2(4^x - 2^{x+1} + 2) = x;$

б) $log_3(9^x - 3^{x+1} + 3) = x;$

в) $log_2(4^x + 2^{x+1} - 8) = x + 2;$

г) $log_5(25^x + 5^x - 5) = x + 1.$

а) $log_2(4^x - 2^{x+1} + 2) = x$

По определению логарифма, данное уравнение равносильно уравнению $4^x - 2^{x+1} + 2 = 2^x$ при условии, что выражение под знаком логарифма положительно: $4^x - 2^{x+1} + 2 > 0$.
Решим уравнение. Преобразуем его, используя свойства степеней $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ и $2^{x+1} = 2^x \cdot 2$:
$(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x + 2 = 2^x$
$(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, тогда $t > 0$. Уравнение принимает вид:
$t^2 - 3t + 2 = 0$
Корни этого квадратного уравнения, которые можно найти по теореме Виета, равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:
1) $2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x_1 = 0$.
2) $2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x_2 = 1$.

Проверим найденные корни на соответствие области допустимых значений (ОДЗ).
Для $x=0$: $4^0 - 2^{0+1} + 2 = 1 - 2 + 2 = 1 > 0$. Корень подходит.
Для $x=1$: $4^1 - 2^{1+1} + 2 = 4 - 4 + 2 = 2 > 0$. Корень подходит.
Заметим, что проверка ОДЗ была не обязательна, так как мы решали уравнение $4^x - 2^{x+1} + 2 = 2^x$, а правая часть $2^x$ всегда положительна.

Ответ: $0; 1$.

б) $log_3(9^x - 3^{x+1} + 3) = x$

По определению логарифма, уравнение равносильно $9^x - 3^{x+1} + 3 = 3^x$ при условии $9^x - 3^{x+1} + 3 > 0$.
Решим уравнение. Используем свойства степеней $9^x = (3^x)^2$ и $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$:
$(3^x)^2 - 3 \cdot 3^x + 3 = 3^x$
$(3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$

Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$. Уравнение принимает вид:
$t^2 - 4t + 3 = 0$
Корни этого уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 3$. Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:
1) $3^x = 1 \implies 3^x = 3^0 \implies x_1 = 0$.
2) $3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x_2 = 1$.

Проверим корни по ОДЗ:
Для $x=0$: $9^0 - 3^{0+1} + 3 = 1 - 3 + 3 = 1 > 0$. Корень подходит.
Для $x=1$: $9^1 - 3^{1+1} + 3 = 9 - 9 + 3 = 3 > 0$. Корень подходит.

Ответ: $0; 1$.

в) $log_2(4^x + 2^{x+1} - 8) = x + 2$

По определению логарифма, уравнение равносильно $4^x + 2^{x+1} - 8 = 2^{x+2}$ при условии $4^x + 2^{x+1} - 8 > 0$.
Решим уравнение. Используем свойства степеней $4^x = (2^x)^2$, $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$ и $2^{x+2} = 4 \cdot 2^x$:
$(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 8 = 4 \cdot 2^x$
$(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 8 = 0$

Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. Уравнение принимает вид:
$t^2 - 2t - 8 = 0$
Корни этого уравнения: $t_1 = 4$, $t_2 = -2$.

Так как $t = 2^x > 0$, корень $t_2 = -2$ является посторонним.
Выполним обратную замену для $t_1 = 4$:
$2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2$.

Проверим найденный корень по ОДЗ:
Для $x=2$: $4^2 + 2^{2+1} - 8 = 16 + 8 - 8 = 16 > 0$. Корень подходит.

Ответ: $2$.

г) $log_5(25^x + 5^x - 5) = x + 1$

По определению логарифма, уравнение равносильно $25^x + 5^x - 5 = 5^{x+1}$ при условии $25^x + 5^x - 5 > 0$.
Решим уравнение. Используем свойства степеней $25^x = (5^x)^2$ и $5^{x+1} = 5 \cdot 5^x$:
$(5^x)^2 + 5^x - 5 = 5 \cdot 5^x$
$(5^x)^2 - 4 \cdot 5^x - 5 = 0$

Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$. Уравнение принимает вид:
$t^2 - 4t - 5 = 0$
Корни этого уравнения: $t_1 = 5$, $t_2 = -1$.

Так как $t = 5^x > 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним.
Выполним обратную замену для $t_1 = 5$:
$5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x = 1$.

Проверим найденный корень по ОДЗ:
Для $x=1$: $25^1 + 5^1 - 5 = 25 + 5 - 5 = 25 > 0$. Корень подходит.

Ответ: $1$.

8.19* a) $log_2 \cos 2x = log_2 \cos x;$

б) $log_{\frac{1}{2}} \cos 2x = log_{\frac{1}{2}} (\cos x + \sin x);$

в) $log_{\frac{1}{3}} \cos 2x = log_{\frac{1}{3}} (\cos x - \sin x);$

г) $log_{0,2} \cos 2x = log_{0,2} (\sin x - \cos x).$

а) Исходное логарифмическое уравнение $ \log_{2} \cos 2x = \log_{2} \cos x $ равносильно системе:
$ \begin{cases} \cos 2x = \cos x \\ \cos x > 0 \end{cases} $
Второе условие $ \cos 2x > 0 $ выполняется автоматически, так как $ \cos 2x = \cos x $.
Решим уравнение $ \cos 2x = \cos x $. Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $:
$ 2\cos^2 x - 1 = \cos x $
$ 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 $
Сделаем замену $ t = \cos x $, где $ |t| \le 1 $:
$ 2t^2 - t - 1 = 0 $
Дискриминант $ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 $.
Корни квадратного уравнения: $ t_1 = \frac{1+3}{4} = 1 $ и $ t_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2} $.
Вернемся к переменной $x$:
1) $ \cos x = 1 $. Решения этого уравнения $ x = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Проверим условие $ \cos x > 0 $: $ \cos(2\pi k) = 1 > 0 $. Эти корни подходят.
2) $ \cos x = -1/2 $. Это значение не удовлетворяет условию $ \cos x > 0 $, поэтому эти решения являются посторонними.
Ответ: $ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Исходное уравнение $ \log_{\frac{1}{2}} \cos 2x = \log_{\frac{1}{2}} (\cos x + \sin x) $ равносильно системе:
$ \begin{cases} \cos 2x = \cos x + \sin x \\ \cos x + \sin x > 0 \end{cases} $
Решим уравнение $ \cos 2x = \cos x + \sin x $. Используем формулу $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) $:
$ (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) = \cos x + \sin x $
$ (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) - (\cos x + \sin x) = 0 $
$ (\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x - 1) = 0 $
Возможны два случая:
1) $ \cos x + \sin x = 0 $. Это противоречит условию области определения $ \cos x + \sin x > 0 $, поэтому решений в этом случае нет.
2) $ \cos x - \sin x - 1 = 0 \implies \cos x - \sin x = 1 $.
Преобразуем левую часть: $ \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = 1 \implies \sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4}) = 1 \implies \cos(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $.
Отсюда получаем две серии решений:
$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $.
$ x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $.
Проверим найденные решения на соответствие условию $ \cos x + \sin x > 0 $:
Для $ x = 2\pi k $: $ \cos(2\pi k) + \sin(2\pi k) = 1 + 0 = 1 > 0 $. Корни подходят.
Для $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $: $ \cos(-\frac{\pi}{2}) + \sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - 1 = -1 < 0 $. Корни не подходят.
Ответ: $ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в) Исходное уравнение $ \log_{\frac{1}{3}} \cos 2x = \log_{\frac{1}{3}} (\cos x - \sin x) $ равносильно системе:
$ \begin{cases} \cos 2x = \cos x - \sin x \\ \cos x - \sin x > 0 \end{cases} $
Решим уравнение $ \cos 2x = \cos x - \sin x $:
$ (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) = \cos x - \sin x $
$ (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x - 1) = 0 $
Возможны два случая:
1) $ \cos x - \sin x = 0 $. Это противоречит условию $ \cos x - \sin x > 0 $, решений нет.
2) $ \cos x + \sin x - 1 = 0 \implies \cos x + \sin x = 1 $.
Преобразуем левую часть: $ \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = 1 \implies \sqrt{2}\cos(x-\frac{\pi}{4}) = 1 \implies \cos(x-\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $.
Отсюда получаем две серии решений:
$ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $.
$ x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $.
Проверим найденные решения на соответствие условию $ \cos x - \sin x > 0 $:
Для $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $: $ \cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2}) = 0 - 1 = -1 < 0 $. Корни не подходят.
Для $ x = 2\pi k $: $ \cos(2\pi k) - \sin(2\pi k) = 1 - 0 = 1 > 0 $. Корни подходят.
Ответ: $ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) Исходное уравнение $ \log_{0,2} \cos 2x = \log_{0,2} (\sin x - \cos x) $ равносильно системе:
$ \begin{cases} \cos 2x = \sin x - \cos x \\ \sin x - \cos x > 0 \end{cases} $
Решим уравнение $ \cos 2x = \sin x - \cos x \implies \cos 2x + \cos x - \sin x = 0 $.
Используем формулу суммы косинусов и формулу синуса двойного угла $ \sin x = 2\sin(x/2)\cos(x/2) $:
$ 2\cos(\frac{2x+x}{2})\cos(\frac{2x-x}{2}) - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 0 $
$ 2\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2} - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 0 $
$ 2\cos\frac{x}{2}(\cos\frac{3x}{2} - \sin\frac{x}{2}) = 0 $
Возможны два случая:
1) $ \cos\frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \pi + 2\pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $.
Проверим условие $ \sin x - \cos x > 0 $: $ \sin(\pi+2\pi k) - \cos(\pi+2\pi k) = \sin\pi - \cos\pi = 0 - (-1) = 1 > 0 $. Корни подходят.
2) $ \cos\frac{3x}{2} - \sin\frac{x}{2} = 0 \implies \cos\frac{3x}{2} = \sin\frac{x}{2} $.
Используя формулу приведения $ \sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $, получаем $ \cos\frac{3x}{2} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) $.
Отсюда $ \frac{3x}{2} = \pm(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) + 2\pi n $.
а) $ \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} + 2\pi n \implies 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n $.
Проверка: $ \sin(\frac{\pi}{4}+\pi n) - \cos(\frac{\pi}{4}+\pi n) = \sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}+\pi n - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin(\pi n) = 0 $. Не удовлетворяет условию $ \sin x - \cos x > 0 $.
б) $ \frac{3x}{2} = -(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) + 2\pi n \implies \frac{3x}{2} = -\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $.
Проверка: $ \sin(-\frac{\pi}{2}) - \cos(-\frac{\pi}{2}) = -1 - 0 = -1 < 0 $. Не удовлетворяет условию.
Таким образом, подходит только первая серия корней.
Ответ: $ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

При каких значениях параметра $a$ уравнение $\lg (x^2 + 3x + a) = \lg (x + 1)^2$ не имеет корней?

Исходное уравнение $ \lg(x^2 + 3x + a) = \lg(x + 1)^2 $ равносильно системе, в которой аргументы логарифмов равны и положительны:
$ \begin{cases} x^2 + 3x + a = (x + 1)^2 \\ (x + 1)^2 > 0 \end{cases} $

Из второго условия системы, $ (x + 1)^2 > 0 $, следует, что $ x + 1 \neq 0 $, то есть $ x \neq -1 $. Это и есть область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Заметим, что первое условие ОДЗ, $ x^2 + 3x + a > 0 $, выполняется автоматически, так как $ x^2 + 3x + a $ равно выражению $ (x + 1)^2 $, которое по второму условию строго положительно.

Теперь решим первое уравнение системы:
$ x^2 + 3x + a = (x + 1)^2 $
$ x^2 + 3x + a = x^2 + 2x + 1 $
$ 3x - 2x = 1 - a $
$ x = 1 - a $

Мы получили, что при любом значении параметра $a$ уравнение имеет единственный возможный корень $ x = 1 - a $. Уравнение не будет иметь решений тогда и только тогда, когда этот корень не удовлетворяет области допустимых значений, то есть когда $ x = -1 $.

Найдем значение параметра $a$, при котором $ x = -1 $:
$ 1 - a = -1 $
$ -a = -2 $
$ a = 2 $

Таким образом, если $ a = 2 $, то единственный потенциальный корень $ x = 1 - 2 = -1 $ является посторонним, так как он не входит в ОДЗ ($ x \neq -1 $). Следовательно, при $ a = 2 $ исходное уравнение не имеет корней.
При всех других значениях $a$ ($a \neq 2$) корень $ x = 1 - a $ удовлетворяет ОДЗ и является единственным решением уравнения.

Ответ: $2$.