Страница 240 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

8.42* ИССЛЕДУЕМ. Докажите, что при любом значении параметра $a$ уравнение $\lg x + \lg(x - 2a) = \lg 4$ имеет единственный корень.

Исходное уравнение: $lg x + lg(x - 2a) = lg 4$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases}x > 0 \\x - 2a > 0\end{cases}$

Из второго неравенства следует $x > 2a$. Таким образом, ОДЗ определяется системой $x > 0$ и $x > 2a$.

2. Преобразуем уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_b m + \log_b n = \log_b(mn)$:

$lg(x(x - 2a)) = lg 4$

Поскольку логарифмическая функция является монотонной, равенство логарифмов означает равенство их аргументов:

$x(x - 2a) = 4$

Раскрыв скобки, получим квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - 2ax - 4 = 0$

3. Исследуем корни полученного квадратного уравнения. Дискриминант $D$ этого уравнения равен:

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4a^2 + 16$

Поскольку $a^2 \ge 0$ при любом значении параметра $a$, то $4a^2 \ge 0$, и, следовательно, $D = 4a^2 + 16 \ge 16$. Так как дискриминант всегда строго положителен ($D > 0$), квадратное уравнение $x^2 - 2ax - 4 = 0$ всегда имеет два различных действительных корня при любом значении $a$.

4. Проанализируем эти корни. По теореме Виета, произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно свободному члену, то есть $x_1 \cdot x_2 = -4$. Так как произведение корней отрицательно, один из корней всегда будет положительным, а другой — отрицательным.

Пусть $x_1$ — положительный корень, а $x_2$ — отрицательный. Корень $x_2$ не может быть решением исходного уравнения, так как он не удовлетворяет условию ОДЗ $x > 0$. Следовательно, $x_2$ является посторонним корнем.

5. Теперь необходимо убедиться, что положительный корень $x_1$ всегда удовлетворяет обоим условиям ОДЗ ($x > 0$ и $x > 2a$). Найдем этот корень явно:

$x_{1,2} = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 + 16}}{2} = a \pm \sqrt{a^2 + 4}$

Поскольку $\sqrt{a^2+4} > \sqrt{a^2} = |a|$, то корень $x_1 = a + \sqrt{a^2+4}$ всегда положителен, а корень $x_2 = a - \sqrt{a^2+4}$ всегда отрицателен.

Мы уже знаем, что $x_1 > 0$. Проверим второе условие ОДЗ: $x_1 > 2a$.

$a + \sqrt{a^2+4} > 2a$

$\sqrt{a^2+4} > a$

Рассмотрим два случая:

• Если $a < 0$, неравенство верно, так как левая часть положительна, а правая — отрицательна.
• Если $a \ge 0$, обе части неравенства неотрицательны. Возведем их в квадрат: $a^2 + 4 > a^2$, что сводится к верному неравенству $4 > 0$.

Таким образом, неравенство $\sqrt{a^2+4} > a$ выполняется при любом значении $a$. Это означает, что положительный корень $x_1$ всегда удовлетворяет и второму условию ОДЗ.

Итак, при любом значении параметра $a$ уравнение имеет два корня, но только один из них (положительный) удовлетворяет области допустимых значений. Следовательно, исходное уравнение всегда имеет единственный корень. Что и требовалось доказать.

Ответ: Исходное уравнение равносильно системе $ \begin{cases} x^2 - 2ax - 4 = 0 \\ x > 0 \\ x > 2a \end{cases} $. Квадратное уравнение $x^2 - 2ax - 4 = 0$ при любом $a$ имеет два действительных корня $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета их произведение $x_1 \cdot x_2 = -4$, значит, один корень положителен, а другой отрицателен. Отрицательный корень не удовлетворяет условию $x>0$. Положительный корень $x_1 = a + \sqrt{a^2+4}$ всегда удовлетворяет обоим условиям ОДЗ ($x>0$ и $x>2a$), так как $\sqrt{a^2+4} > a$ для любого $a$. Следовательно, при любом значении параметра $a$ исходное уравнение имеет единственный корень.