Страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

7.1° a) Какие два уравнения называют равносильными?

б) Какие преобразования уравнения называют равносильными? Приведите примеры равносильных преобразований уравнения.

а) Два уравнения называют равносильными (или эквивалентными), если множества их корней совпадают. Это означает, что любой корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот, любой корень второго уравнения является корнем первого. Также равносильными считаются два уравнения, которые не имеют корней.

Например, уравнения $x + 5 = 7$ и $3x = 6$ равносильны, так как оба имеют единственный корень $x=2$.

Уравнения $x^2 = -1$ и $\sqrt{x} = -3$ также равносильны, поскольку оба не имеют действительных корней.

Ответ: Два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые множества корней.

б) Равносильными преобразованиями уравнения называют такие преобразования, которые заменяют данное уравнение другим уравнением, равносильным исходному. Иными словами, это преобразования, которые не приводят к потере корней и не создают посторонних корней, то есть сохраняют множество решений уравнения неизменным.

Примеры равносильных преобразований уравнения:

1. Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с изменением его знака на противоположный.
Пример: Уравнение $5x - 4 = 2x + 5$ равносильно уравнению $5x - 2x = 5 + 4$.

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.
Пример: Уравнение $0.2x = 3$ равносильно уравнению $x = 15$ (обе части умножили на 5).

3. Применение тождественных преобразований (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и т.п.) в одной или обеих частях уравнения, не изменяющих область допустимых значений (ОДЗ) уравнения.
Пример: Уравнение $(x+3)^2 - x^2 = 15$ после тождественного преобразования левой части $x^2+6x+9-x^2=15$ равносильно уравнению $6x+9=15$.

4. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень.
Пример: Уравнение $\sqrt[5]{x} = 2$ равносильно уравнению $x = 2^5$, то есть $x=32$.

Ответ: Равносильными называют преобразования, которые не изменяют множество корней уравнения. Примерами являются перенос слагаемых, умножение или деление обеих частей на ненулевое число, тождественные преобразования выражений.

7.2* Докажите утверждения:

а) об извлечении корня нечётной степени из обеих частей уравнения;

б) о логарифмировании показательного уравнения.

а) об извлечении корня нечётной степени из обеих частей уравнения;

Чтобы доказать данное утверждение, необходимо показать, что преобразование уравнения вида $f(x) = g(x)$ в уравнение $\sqrt[k]{f(x)} = \sqrt[k]{g(x)}$, где $k$ — нечётное натуральное число, является равносильным. Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Докажем, что любой корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот.

1. Докажем, что из $f(x) = g(x)$ следует $\sqrt[k]{f(x)} = \sqrt[k]{g(x)}$.
Пусть $x_0$ — некоторое решение уравнения $f(x) = g(x)$. Это означает, что при подстановке $x_0$ в уравнение мы получаем верное числовое равенство: $f(x_0) = g(x_0)$. Функция $y(t) = \sqrt[k]{t}$ для нечётного $k$ определена для всех действительных чисел $t$. Если два числа равны, то и корни нечётной степени из этих чисел равны. Следовательно, из $f(x_0) = g(x_0)$ следует, что $\sqrt[k]{f(x_0)} = \sqrt[k]{g(x_0)}$. Это означает, что $x_0$ также является решением уравнения $\sqrt[k]{f(x)} = \sqrt[k]{g(x)}$.

2. Докажем, что из $\sqrt[k]{f(x)} = \sqrt[k]{g(x)}$ следует $f(x) = g(x)$.
Пусть $x_0$ — некоторое решение уравнения $\sqrt[k]{f(x)} = \sqrt[k]{g(x)}$. Это означает, что при подстановке $x_0$ мы получаем верное числовое равенство: $\sqrt[k]{f(x_0)} = \sqrt[k]{g(x_0)}$. Возведём обе части этого равенства в степень $k$. Так как $k$ — нечётное число, функция $y(t) = t^k$ является строго монотонной (возрастающей) на всей числовой оси. Это свойство гарантирует, что если $a=b$, то и $a^k=b^k$. Таким образом, мы получаем $(\sqrt[k]{f(x_0)})^k = (\sqrt[k]{g(x_0)})^k$. По определению арифметического корня нечётной степени, это равенство эквивалентно $f(x_0) = g(x_0)$. Следовательно, $x_0$ также является решением исходного уравнения $f(x) = g(x)$.

Поскольку мы показали, что множества решений обоих уравнений совпадают, преобразование является равносильным.

Ответ: Утверждение доказано.

б) о логарифмировании показательного уравнения.

Чтобы доказать данное утверждение, необходимо показать, что преобразование показательного уравнения вида $f(x) = g(x)$ (где по определению показательной функции $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$ на всей области определения уравнения) в уравнение $\log_c(f(x)) = \log_c(g(x))$ (где $c>0$, $c \ne 1$) является равносильным.

1. Докажем, что из $f(x) = g(x)$ следует $\log_c(f(x)) = \log_c(g(x))$.
Пусть $x_0$ — некоторое решение уравнения $f(x) = g(x)$. Это означает, что $f(x_0) = g(x_0)$. Так как для показательного уравнения обе его части всегда положительны, то $f(x_0) > 0$ и $g(x_0) > 0$. Логарифмическая функция $y(t) = \log_c(t)$ определена для всех $t > 0$. Если два положительных числа равны, то и их логарифмы по одному и тому же основанию $c$ равны. Следовательно, из $f(x_0) = g(x_0)$ следует $\log_c(f(x_0)) = \log_c(g(x_0))$. Это означает, что $x_0$ также является решением уравнения $\log_c(f(x)) = \log_c(g(x))$.

2. Докажем, что из $\log_c(f(x)) = \log_c(g(x))$ следует $f(x) = g(x)$.
Пусть $x_0$ — некоторое решение уравнения $\log_c(f(x)) = \log_c(g(x))$. Это означает, что $\log_c(f(x_0)) = \log_c(g(x_0))$. Из определения логарифма следует, что $f(x_0) > 0$ и $g(x_0) > 0$. Логарифмическая функция $y(t) = \log_c(t)$ является строго монотонной на всей своей области определения $(0; +\infty)$. Это означает, что она взаимно-однозначна, то есть, если $\log_c(a) = \log_c(b)$, то $a = b$. Применяя это свойство к нашему равенству, получаем $f(x_0) = g(x_0)$. Следовательно, $x_0$ также является решением исходного уравнения $f(x) = g(x)$.

Поскольку множества решений исходного и преобразованного уравнений совпадают, логарифмирование обеих частей показательного уравнения является равносильным преобразованием.

Ответ: Утверждение доказано.

7.3 Объясните, почему равносильны уравнения:

a) $x+5=2x-3$ и $x-2x+5=-3$;

б) $\frac{1}{2}x^2+1=x^3-x$ и $x^2+2=2x^3-2x$;

в) $(x+1)^2=2x^2$ и $x^2+2x+1=2x^2$;

г) $x^2+x+2-x^3-x+1=0$ и $x^2-x^3+3=0$;

д) $x=1$ и $x^3=1$; е) $x^5=2$ и $x=\sqrt[5]{2}$;

ж) $2^{x+2}=2$ и $x+2=1$; з) $\sin^3 x=\frac{1}{8}$ и $\sin x=\frac{1}{2}$.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Также уравнения равносильны, если одно из них можно получить из другого с помощью равносильных преобразований.

а) Второе уравнение $x - 2x + 5 = -3$ получено из первого уравнения $x + 5 = 2x - 3$ путем переноса слагаемого $2x$ из правой части в левую с изменением знака. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую является равносильным преобразованием, так как это равносильно прибавлению (или вычитанию) одного и того же выражения к обеим частям уравнения.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого равносильным преобразованием (перенос слагаемого).

б) Второе уравнение $x^2 + 2 = 2x^3 - 2x$ получено из первого уравнения $\frac{1}{2}x^2 + 1 = x^3 - x$ путем умножения обеих частей на 2. Умножение обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число (в данном случае на 2) является равносильным преобразованием, так как оно не меняет множество корней уравнения.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого умножением обеих частей на ненулевое число 2.

в) Второе уравнение $x^2 + 2x + 1 = 2x^2$ получено из первого $(x + 1)^2 = 2x^2$ путем раскрытия скобок в левой части по формуле квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Тождественные преобразования выражений в одной из частей уравнения (без изменения области определения) являются равносильными.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого путем тождественного преобразования левой части (раскрытия скобок).

г) Второе уравнение $x^2 - x^3 + 3 = 0$ получено из первого $x^2 + x + 2 - x^3 - x + 1 = 0$ путем приведения подобных слагаемых в левой части: $x - x = 0$ и $2 + 1 = 3$. Упрощение выражений (приведение подобных слагаемых) является тождественным, а значит, и равносильным преобразованием.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого путем приведения подобных слагаемых.

д) Второе уравнение $x^3 = 1$ можно получить из первого $x = 1$ возведением обеих частей в куб ($x^3=1^3$). Функция $y=t^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, поэтому возведение в нечетную степень является равносильным преобразованием. И наоборот, из уравнения $x^3=1$ можно получить $x=1$ извлечением кубического корня, что также равносильное преобразование. У обоих уравнений одно и то же единственное действительное решение $x=1$.
Ответ: Уравнения равносильны, так как они имеют одно и то же множество решений ($x=1$), и одно может быть получено из другого равносильным преобразованием (возведение в куб).

е) Второе уравнение $x = \sqrt[5]{2}$ является решением первого уравнения $x^5 = 2$. Оно получено путем извлечения корня пятой степени из обеих частей. Поскольку корень нечетной степени (в данном случае пятой) является однозначно определенной и монотонной функцией для всех действительных чисел, это преобразование является равносильным.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе уравнение является решением первого, полученным в результате равносильного преобразования (извлечения корня нечетной степени).

ж) Первое уравнение $2^{x+2} = 2$ можно переписать как $2^{x+2} = 2^1$. Так как показательная функция $y = 2^t$ является монотонной, равенство значений функции возможно только при равенстве аргументов. Следовательно, равенство степеней с одинаковым основанием ($a>0, a \ne 1$) равносильно равенству их показателей. Поэтому уравнение $2^{x+2} = 2^1$ равносильно уравнению $x+2 = 1$.
Ответ: Уравнения равносильны, так как равенство степеней с одинаковым основанием равносильно равенству их показателей.

з) Обозначим $t = \sin x$. Тогда первое уравнение $\sin^3 x = \frac{1}{8}$ примет вид $t^3 = \frac{1}{8}$. Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $t = \frac{1}{2}$. Так как функция $y=z^3$ монотонна, это преобразование является равносильным. Возвращаясь к исходной переменной, получаем второе уравнение: $\sin x = \frac{1}{2}$.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого путем извлечения кубического корня из обеих частей, что является равносильным преобразованием.