Номер 7.13, страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.13, страница 219.

7.13* ИССЛЕДУЕМ

При каком значении параметра $a$ уравнение $3^{x^2 - 2x + a} = 9^x$ имеет единственный корень?

Чтобы найти значение параметра a, при котором данное уравнение имеет единственный корень, преобразуем его. Исходное уравнение:

$3^{x^2 - 2x + a} = 9^x$

Заметим, что основание в правой части уравнения можно представить как степень числа 3, поскольку $9 = 3^2$.

$3^{x^2 - 2x + a} = (3^2)^x$

Используя свойство степеней $(b^m)^n = b^{mn}$, упростим правую часть:

$3^{x^2 - 2x + a} = 3^{2x}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 - 2x + a = 2x$

Теперь перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$x^2 - 2x - 2x + a = 0$

$x^2 - 4x + a = 0$

Исходное показательное уравнение будет иметь единственный корень в том и только в том случае, если полученное квадратное уравнение имеет единственный корень. Квадратное уравнение имеет ровно один корень, когда его дискриминант (D) равен нулю.

Формула дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$. Для нашего уравнения коэффициенты равны: $A=1$, $B=-4$, $C=a$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$

Приравняем дискриминант к нулю и решим уравнение относительно a:

$16 - 4a = 0$

$4a = 16$

$a = \frac{16}{4}$

$a = 4$

Следовательно, при $a=4$ уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $a = 4$