Номер 7.17, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.17, страница 224.

7.17* Докажите, что если число $a < 0$, то неравенства $f(x) > g(x)$ и $af(x) < ag(x)$ равносильны.

Чтобы доказать, что неравенства $f(x) > g(x)$ и $af(x) < ag(x)$ равносильны при $a < 0$, необходимо показать, что они имеют одно и то же множество решений. Это означает, что любое решение первого неравенства является решением второго, и наоборот. Это можно доказать, показав, что одно неравенство получается из другого с помощью равносильных преобразований.

Доказательство в одну сторону ($f(x) > g(x) \Rightarrow af(x) < ag(x)$)

Возьмем первое неравенство: $f(x) > g(x)$. Согласно одному из основных свойств неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то для сохранения верности неравенства его знак необходимо изменить на противоположный. Такое преобразование является равносильным. По условию задачи, число $a < 0$. Умножим обе части неравенства $f(x) > g(x)$ на $a$ и, согласно свойству, изменим знак $>$ на <: $a \cdot f(x) < a \cdot g(x)$ Таким образом, из неравенства $f(x) > g(x)$ следует неравенство $af(x) < ag(x)$.

Доказательство в обратную сторону ($af(x) < ag(x) \Rightarrow f(x) > g(x)$)

Теперь возьмем второе неравенство: $af(x) < ag(x)$. Свойство равносильности также работает и для деления. Если обе части верного неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то для сохранения верности неравенства его знак также необходимо изменить на противоположный. Разделим обе части неравенства $af(x) < ag(x)$ на отрицательное число $a$. При этом знак неравенства < меняется на $>$: $\frac{af(x)}{a} > \frac{ag(x)}{a}$ После сокращения получаем: $f(x) > g(x)$ Таким образом, из неравенства $af(x) < ag(x)$ следует неравенство $f(x) > g(x)$.

Поскольку из первого неравенства следует второе, а из второго — первое, их множества решений совпадают. Следовательно, данные неравенства равносильны.

Ответ: Неравенства $f(x) > g(x)$ и $af(x) < ag(x)$ при $a < 0$ равносильны, так как второе неравенство получается из первого путем умножения обеих его частей на отрицательное число $a$ и смены знака неравенства на противоположный, что является равносильным преобразованием.