Номер 6.67, страница 195 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.67, страница 195.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (6.67–6.71):

6.67 a) $y=\frac{x^2}{2}$, $x=1$, $x=3$ и $y=0$; б) $y=\sqrt{2x}$, $x=1$ и $y=0$.

a)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{x^2}{2}$, $x=1$, $x=3$ и $y=0$ (ось Ox), необходимо вычислить определенный интеграл. Данная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху параболой $y = \frac{x^2}{2}$, снизу осью абсцисс, и с боков прямыми $x=1$ и $x=3$.

Поскольку на отрезке $[1, 3]$ функция $y = \frac{x^2}{2}$ неотрицательна ($y \ge 0$), площадь $S$ можно найти по формуле площади криволинейной трапеции:

$S = \int_{1}^{3} \frac{x^2}{2} dx$

Вычислим этот интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{1}^{3} \frac{x^2}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} x^2 dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{1}{6} [x^3]_{1}^{3}$

Подставим пределы интегрирования:

$S = \frac{1}{6} (3^3 - 1^3) = \frac{1}{6} (27 - 1) = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}$

Ответ: $S = \frac{13}{3}$

б)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sqrt{2x}$, $x=1$ и $y=0$, найдем пределы интегрирования. Линия $y=0$ — это ось Ox. График функции $y = \sqrt{2x}$ пересекает ось Ox в точке, где $\sqrt{2x}=0$, то есть при $x=0$. Таким образом, фигура ограничена слева прямой $x=0$ и справа прямой $x=1$.

Фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции $y = \sqrt{2x}$, снизу — осью Ox, слева — прямой $x=0$ и справа — прямой $x=1$.

На отрезке $[0, 1]$ функция $y = \sqrt{2x}$ неотрицательна, поэтому ее площадь $S$ равна:

$S = \int_{0}^{1} \sqrt{2x} dx$

Вычислим интеграл:

$S = \int_{0}^{1} \sqrt{2} \cdot \sqrt{x} dx = \sqrt{2} \int_{0}^{1} x^{1/2} dx$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \sqrt{2} \left[ \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} \right]_{0}^{1} = \sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2\sqrt{2}}{3} [x^{3/2}]_{0}^{1}$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = \frac{2\sqrt{2}}{3} (1^{3/2} - 0^{3/2}) = \frac{2\sqrt{2}}{3} (1 - 0) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $S = \frac{2\sqrt{2}}{3}$