Номер 6.68, страница 195 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.68, страница 195.

6.68 а) $y = \frac{x^2}{4}$ и $y = 3 - \frac{x^2}{2}$;

б) $y = x^2 - 6x + 10$ и $y = 6x - x^2$.

а)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{x^2}{4}$ и $y = 3 - \frac{x^2}{2}$, сначала найдем точки пересечения этих кривых. Для этого приравняем правые части уравнений:

$\frac{x^2}{4} = 3 - \frac{x^2}{2}$

Перенесем все члены с $x^2$ в левую часть:

$\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{2} = 3$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 + 2x^2}{4} = 3$

$\frac{3x^2}{4} = 3$

$x^2 = 4$

Отсюда находим абсциссы точек пересечения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Это будут наши пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций больше на интервале $(-2, 2)$. Возьмем пробную точку $x = 0$:

Для $y_1 = \frac{x^2}{4}$, $y_1(0) = \frac{0^2}{4} = 0$.

Для $y_2 = 3 - \frac{x^2}{2}$, $y_2(0) = 3 - \frac{0^2}{2} = 3$.

Поскольку $3 > 0$, на интервале $(-2, 2)$ график функции $y = 3 - \frac{x^2}{2}$ расположен выше графика функции $y = \frac{x^2}{4}$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций по отрезку $[-2, 2]$:

$S = \int_{-2}^{2} \left( \left(3 - \frac{x^2}{2}\right) - \frac{x^2}{4} \right) dx = \int_{-2}^{2} \left( 3 - \frac{3x^2}{4} \right) dx$

Вычислим интеграл:

$\int \left( 3 - \frac{3x^2}{4} \right) dx = 3x - \frac{3}{4} \cdot \frac{x^3}{3} + C = 3x - \frac{x^3}{4} + C$

$S = \left[ 3x - \frac{x^3}{4} \right]_{-2}^{2} = \left( 3(2) - \frac{2^3}{4} \right) - \left( 3(-2) - \frac{(-2)^3}{4} \right)$

$S = \left( 6 - \frac{8}{4} \right) - \left( -6 - \frac{-8}{4} \right) = (6 - 2) - (-6 + 2) = 4 - (-4) = 8$

Ответ: $8$

б)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболами $y = x^2 - 6x + 10$ и $y = 6x - x^2$, найдем их точки пересечения, приравняв правые части уравнений:

$x^2 - 6x + 10 = 6x - x^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$2x^2 - 12x + 10 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Это пределы интегрирования.

Определим, какая из функций больше на интервале $(1, 5)$. Возьмем пробную точку $x = 2$:

Для $y_1 = x^2 - 6x + 10$, $y_1(2) = 2^2 - 6(2) + 10 = 4 - 12 + 10 = 2$.

Для $y_2 = 6x - x^2$, $y_2(2) = 6(2) - 2^2 = 12 - 4 = 8$.

Поскольку $8 > 2$, на интервале $(1, 5)$ парабола $y = 6x - x^2$ находится выше параболы $y = x^2 - 6x + 10$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций по отрезку $[1, 5]$:

$S = \int_{1}^{5} \left( (6x - x^2) - (x^2 - 6x + 10) \right) dx = \int_{1}^{5} (-2x^2 + 12x - 10) dx$

Вычислим интеграл:

$\int (-2x^2 + 12x - 10) dx = -2\frac{x^3}{3} + 12\frac{x^2}{2} - 10x + C = -\frac{2}{3}x^3 + 6x^2 - 10x + C$

$S = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 6x^2 - 10x \right]_{1}^{5}$

$S = \left( -\frac{2}{3}(5)^3 + 6(5)^2 - 10(5) \right) - \left( -\frac{2}{3}(1)^3 + 6(1)^2 - 10(1) \right)$

$S = \left( -\frac{250}{3} + 150 - 50 \right) - \left( -\frac{2}{3} + 6 - 10 \right)$

$S = \left( -\frac{250}{3} + 100 \right) - \left( -\frac{2}{3} - 4 \right)$

$S = \left( \frac{-250 + 300}{3} \right) - \left( \frac{-2 - 12}{3} \right) = \frac{50}{3} - \left( -\frac{14}{3} \right) = \frac{50+14}{3} = \frac{64}{3}$

Ответ: $\frac{64}{3}$