Номер 6.71, страница 195 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.71, страница 195.

6.71 a) $y = 4 - 0.5x^3$ и $y = 4 - 2x$;

б) $y = 0.5x^3 + 8$ и $y = 2x + 8.

а)

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = 4 - 0,5x^3$ и $y = 4 - 2x$, необходимо найти такие значения $x$, при которых значения $y$ будут одинаковыми. Для этого приравняем правые части уравнений:

$4 - 0,5x^3 = 4 - 2x$

Вычтем 4 из обеих частей уравнения:

$-0,5x^3 = -2x$

Умножим обе части уравнения на -2:

$x^3 = 4x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$x^3 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 4) = 0$

Выражение в скобках является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам три решения для $x$:

$x_1 = 0$

$x_2 - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

$x_3 + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$

Теперь найдем соответствующие ординаты (координаты $y$), подставив каждое значение $x$ в любое из исходных уравнений. Проще использовать уравнение прямой $y = 4 - 2x$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 4 - 2(0) = 4$

Таким образом, первая точка пересечения — $(0; 4)$.

Для $x_2 = 2$:

$y_2 = 4 - 2(2) = 4 - 4 = 0$

Таким образом, вторая точка пересечения — $(2; 0)$.

Для $x_3 = -2$:

$y_3 = 4 - 2(-2) = 4 + 4 = 8$

Таким образом, третья точка пересечения — $(-2; 8)$.

Ответ: $(0; 4)$, $(2; 0)$, $(-2; 8)$.

б)

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = 0,5x^3 + 8$ и $y = 2x + 8$ поступим аналогичным образом. Приравняем правые части уравнений:

$0,5x^3 + 8 = 2x + 8$

Вычтем 8 из обеих частей уравнения:

$0,5x^3 = 2x$

Умножим обе части уравнения на 2:

$x^3 = 4x$

Мы получили то же самое уравнение, что и в пункте а):

$x^3 - 4x = 0$

$x(x - 2)(x + 2) = 0$

Следовательно, абсциссы точек пересечения будут такими же:

$x_1 = 0$

$x_2 = 2$

$x_3 = -2$

Найдем соответствующие ординаты, подставив эти значения $x$ в уравнение $y = 2x + 8$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 2(0) + 8 = 8$

Первая точка пересечения — $(0; 8)$.

Для $x_2 = 2$:

$y_2 = 2(2) + 8 = 4 + 8 = 12$

Вторая точка пересечения — $(2; 12)$.

Для $x_3 = -2$:

$y_3 = 2(-2) + 8 = -4 + 8 = 4$

Третья точка пересечения — $(-2; 4)$.

Ответ: $(0; 8)$, $(2; 12)$, $(-2; 4)$.