Страница 195 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

6.63 Каковы основные свойства определённых интегралов?

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ интегрируемы на отрезке $[a, b]$, а $k, \alpha, \beta$ — произвольные действительные числа. Основные свойства определённых интегралов следующие:

• 1. Линейность

  Интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации интегралов от этих функций. Это свойство объединяет вынесение постоянного множителя за знак интеграла и интегрирование суммы/разности функций.

  Ответ: $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$

• 2. Аддитивность по отрезку интегрирования

  Если точка $c$ лежит между $a$ и $b$, то интеграл по всему отрезку $[a, b]$ равен сумме интегралов по его частям $[a, c]$ и $[c, b]$.

  Ответ: $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ для любого $c$ такого, что $a < c < b$.

• 3. Смена пределов интегрирования

  При перестановке верхнего и нижнего пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный.

  Ответ: $\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$

• 4. Интеграл с равными пределами

  Если верхний и нижний пределы интегрирования совпадают, то определённый интеграл равен нулю, так как длина отрезка интегрирования равна нулю.

  Ответ: $\int_a^a f(x) dx = 0$

• 5. Монотонность (сравнение интегралов)

  Если на отрезке $[a, b]$ (при $a < b$) одна функция $f(x)$ не меньше другой функции $g(x)$, то и определённый интеграл от $f(x)$ будет не меньше определённого интеграла от $g(x)$ на этом же отрезке. В частности, если функция неотрицательна, то и ее интеграл неотрицателен.

  Ответ: Если $f(x) \ge g(x)$ для всех $x \in [a, b]$, то $\int_a^b f(x) dx \ge \int_a^b g(x) dx$.

• 6. Оценка интеграла

  Если на отрезке $[a, b]$ (при $a < b$) значения непрерывной функции $f(x)$ заключены между её наименьшим значением $m$ и наибольшим $M$, то значение интеграла от этой функции будет заключено между $m(b-a)$ и $M(b-a)$.

  Ответ: Если $m \le f(x) \le M$ для всех $x \in [a, b]$, то $m(b-a) \le \int_a^b f(x) dx \le M(b-a)$.

• 7. Теорема о среднем значении

  Для непрерывной на отрезке $[a, b]$ функции $f(x)$ существует такая точка $c \in [a, b]$, что значение интеграла равно произведению значения функции в этой точке на длину отрезка. Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции равна площади некоторого прямоугольника с тем же основанием.

  Ответ: Существует $c \in [a, b]$ такое, что $\int_a^b f(x) dx = f(c) \cdot (b-a)$.

• 8. Формула Ньютона-Лейбница (основная теорема анализа)

  Это основное правило для вычисления определённых интегралов, связывающее его с первообразной. Если $F(x)$ является первообразной для непрерывной функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ (то есть $F'(x) = f(x)$), то определённый интеграл от $f(x)$ равен разности значений первообразной на концах отрезка.

  Ответ: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

Примените основные свойства интегралов при вычислении интегралов (6.64—6.66):

6.64 а) $\int_{0}^{1} x dx + \int_{1}^{3} x dx;$

б) $\int_{0}^{\pi} \sin x dx + \int_{\pi}^{2\pi} \sin x dx;$

в) $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} + \int_{2}^{e} \frac{dx}{x};$

г) $\int_{0}^{1} e^x dx + \int_{1}^{2} e^x dx + \int_{2}^{3} e^x dx;$

д) $\int_{0}^{1} \sin x dx + \int_{1}^{2} \sin x dx + \int_{2}^{\pi} \sin x dx.$

а) Применяем свойство аддитивности определенного интеграла, согласно которому $\int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \int_a^b f(x) dx$. Это позволяет объединить два интеграла в один: $\int_0^1 x dx + \int_1^3 x dx = \int_0^3 x dx$. Теперь вычислим полученный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_0^3 x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^3 = \frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{9}{2}$. Ответ: $\frac{9}{2}$.

б) Используем свойство аддитивности, чтобы объединить интегралы с одинаковой подынтегральной функцией и смежными пределами интегрирования: $\int_0^\pi \sin x dx + \int_\pi^{2\pi} \sin x dx = \int_0^{2\pi} \sin x dx$. Вычислим интеграл: $\int_0^{2\pi} \sin x dx = \left[ -\cos x \right]_0^{2\pi} = (-\cos(2\pi)) - (-\cos(0)) = -1 - (-1) = 0$. Ответ: $0$.

в) На основании свойства аддитивности $\int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \int_a^b f(x) dx$ объединяем интегралы: $\int_1^2 \frac{dx}{x} + \int_2^e \frac{dx}{x} = \int_1^e \frac{dx}{x}$. Вычисляем полученный интеграл: $\int_1^e \frac{dx}{x} = \left[ \ln|x| \right]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$. Ответ: $1$.

г) Обобщенное свойство аддитивности позволяет объединить три интеграла: $\int_0^1 e^x dx + \int_1^2 e^x dx + \int_2^3 e^x dx = \int_0^3 e^x dx$. Вычисляем интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: $\int_0^3 e^x dx = \left[ e^x \right]_0^3 = e^3 - e^0 = e^3 - 1$. Ответ: $e^3 - 1$.

д) Используем свойство аддитивности для суммы трех интегралов с последовательными пределами интегрирования: $\int_0^1 \sin x dx + \int_1^2 \sin x dx + \int_2^\pi \sin x dx = \int_0^\pi \sin x dx$. Вычисляем полученный интеграл: $\int_0^\pi \sin x dx = \left[ -\cos x \right]_0^\pi = (-\cos(\pi)) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$. Ответ: $2$.

6.65 a) $\int_{2}^{3} 3x \, dx;$

б) $\int_{-1}^{2} (-2x^4) \, dx;$

В) $\int_{1}^{e} \frac{dx}{2x}.$

а) Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для функции $ f(x) $.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 3x $. Используя табличное значение для степенной функции $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $, получаем:

$ F(x) = \int 3x \, dx = 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 3 \frac{x^2}{2} $.

Теперь подставим пределы интегрирования в первообразную:

$ \int_{2}^{3} 3x \, dx = \left. 3 \frac{x^2}{2} \right|_{2}^{3} = 3 \frac{3^2}{2} - 3 \frac{2^2}{2} = 3 \cdot \frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{4}{2} = \frac{27}{2} - \frac{12}{2} = \frac{15}{2} = 7,5 $.

Ответ: $7,5$.

б) Вычислим интеграл $ \int_{-1}^{2} (-2x^4) \, dx $.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = -2x^4 $:

$ F(x) = \int (-2x^4) \, dx = -2 \int x^4 \, dx = -2 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = -2 \frac{x^5}{5} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-1}^{2} (-2x^4) \, dx = \left. \left(-\frac{2x^5}{5}\right) \right|_{-1}^{2} = \left(-\frac{2 \cdot 2^5}{5}\right) - \left(-\frac{2 \cdot (-1)^5}{5}\right) = \left(-\frac{2 \cdot 32}{5}\right) - \left(-\frac{2 \cdot (-1)}{5}\right) = -\frac{64}{5} - \frac{2}{5} = -\frac{66}{5} = -13,2 $.

Ответ: $-13,2$.

в) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{e} \frac{dx}{2x} $.

Вынесем константу $ \frac{1}{2} $ за знак интеграла: $ \int_{1}^{e} \frac{dx}{2x} = \frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx $.

Первообразная для функции $ f(x) = \frac{1}{x} $ — это натуральный логарифм $ \ln|x| $. Так как пределы интегрирования $ 1 $ и $ e $ являются положительными числами, знак модуля можно опустить: $ F(x) = \ln(x) $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2} \left. \ln(x) \right|_{1}^{e} = \frac{1}{2} (\ln(e) - \ln(1)) $.

Зная, что $ \ln(e) = 1 $ и $ \ln(1) = 0 $, получаем:

$ \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2} = 0,5 $.

Ответ: $0,5$.

6.66 а) $\int_1^2 (3x - 1) dx;$

б) $\int_{-2}^3 (x^2 - 2x) dx;$

в) $\int_0^2 (2x^2 + 5x - 6) dx;$

г) $\int_{-2}^1 (-2x^2 - x + 8) dx.$

а)

Для вычисления определенного интеграла $ \int_{1}^{2} (3x - 1) dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для функции $ f(x) $.

1. Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 3x - 1 $.

$ F(x) = \int (3x - 1) dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} - x = \frac{3}{2}x^2 - x $.

2. Вычислим значение первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

При $ x = 2 $: $ F(2) = \frac{3}{2}(2)^2 - 2 = \frac{3}{2} \cdot 4 - 2 = 6 - 2 = 4 $.

При $ x = 1 $: $ F(1) = \frac{3}{2}(1)^2 - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} $.

3. Найдем разность $ F(2) - F(1) $.

$ \int_{1}^{2} (3x - 1) dx = F(2) - F(1) = 4 - \frac{1}{2} = 3.5 $.

Ответ: $3.5$

б)

Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{3} (x^2 - 2x) dx $.

1. Найдем первообразную для $ f(x) = x^2 - 2x $.

$ F(x) = \int (x^2 - 2x) dx = \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{3} - x^2 $.

2. Вычислим значения $ F(3) $ и $ F(-2) $.

$ F(3) = \frac{3^3}{3} - 3^2 = \frac{27}{3} - 9 = 9 - 9 = 0 $.

$ F(-2) = \frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 = \frac{-8}{3} - 4 = -\frac{8}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{20}{3} $.

3. Применим формулу Ньютона-Лейбница.

$ \int_{-2}^{3} (x^2 - 2x) dx = F(3) - F(-2) = 0 - (-\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} $.

Ответ: $\frac{20}{3}$

в)

Вычислим интеграл $ \int_{0}^{2} (2x^2 + 5x - 6) dx $.

1. Найдем первообразную для $ f(x) = 2x^2 + 5x - 6 $.

$ F(x) = \int (2x^2 + 5x - 6) dx = 2 \frac{x^3}{3} + 5 \frac{x^2}{2} - 6x $.

2. Вычислим значения $ F(2) $ и $ F(0) $.

$ F(2) = 2 \frac{2^3}{3} + 5 \frac{2^2}{2} - 6(2) = 2 \frac{8}{3} + 5 \frac{4}{2} - 12 = \frac{16}{3} + 10 - 12 = \frac{16}{3} - 2 = \frac{16 - 6}{3} = \frac{10}{3} $.

$ F(0) = 2 \frac{0^3}{3} + 5 \frac{0^2}{2} - 6(0) = 0 $.

3. Применим формулу Ньютона-Лейбница.

$ \int_{0}^{2} (2x^2 + 5x - 6) dx = F(2) - F(0) = \frac{10}{3} - 0 = \frac{10}{3} $.

Ответ: $\frac{10}{3}$

г)

Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{1} (-2x^2 - x + 8) dx $.

1. Найдем первообразную для $ f(x) = -2x^2 - x + 8 $.

$ F(x) = \int (-2x^2 - x + 8) dx = -2 \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 8x $.

2. Вычислим значения $ F(1) $ и $ F(-2) $.

$ F(1) = -2 \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 8(1) = -\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 8 = \frac{-4 - 3 + 48}{6} = \frac{41}{6} $.

$ F(-2) = -2 \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 8(-2) = -2 \frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 16 = \frac{16}{3} - 2 - 16 = \frac{16}{3} - 18 = \frac{16 - 54}{3} = -\frac{38}{3} $.

3. Применим формулу Ньютона-Лейбница.

$ \int_{-2}^{1} (-2x^2 - x + 8) dx = F(1) - F(-2) = \frac{41}{6} - (-\frac{38}{3}) = \frac{41}{6} + \frac{38 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{41}{6} + \frac{76}{6} = \frac{117}{6} = \frac{39}{2} = 19.5 $.

Ответ: $19.5$

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (6.67–6.71):

6.67 a) $y=\frac{x^2}{2}$, $x=1$, $x=3$ и $y=0$; б) $y=\sqrt{2x}$, $x=1$ и $y=0$.

a)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{x^2}{2}$, $x=1$, $x=3$ и $y=0$ (ось Ox), необходимо вычислить определенный интеграл. Данная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху параболой $y = \frac{x^2}{2}$, снизу осью абсцисс, и с боков прямыми $x=1$ и $x=3$.

Поскольку на отрезке $[1, 3]$ функция $y = \frac{x^2}{2}$ неотрицательна ($y \ge 0$), площадь $S$ можно найти по формуле площади криволинейной трапеции:

$S = \int_{1}^{3} \frac{x^2}{2} dx$

Вычислим этот интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{1}^{3} \frac{x^2}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} x^2 dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{1}{6} [x^3]_{1}^{3}$

Подставим пределы интегрирования:

$S = \frac{1}{6} (3^3 - 1^3) = \frac{1}{6} (27 - 1) = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}$

Ответ: $S = \frac{13}{3}$

б)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sqrt{2x}$, $x=1$ и $y=0$, найдем пределы интегрирования. Линия $y=0$ — это ось Ox. График функции $y = \sqrt{2x}$ пересекает ось Ox в точке, где $\sqrt{2x}=0$, то есть при $x=0$. Таким образом, фигура ограничена слева прямой $x=0$ и справа прямой $x=1$.

Фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции $y = \sqrt{2x}$, снизу — осью Ox, слева — прямой $x=0$ и справа — прямой $x=1$.

На отрезке $[0, 1]$ функция $y = \sqrt{2x}$ неотрицательна, поэтому ее площадь $S$ равна:

$S = \int_{0}^{1} \sqrt{2x} dx$

Вычислим интеграл:

$S = \int_{0}^{1} \sqrt{2} \cdot \sqrt{x} dx = \sqrt{2} \int_{0}^{1} x^{1/2} dx$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \sqrt{2} \left[ \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} \right]_{0}^{1} = \sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2\sqrt{2}}{3} [x^{3/2}]_{0}^{1}$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = \frac{2\sqrt{2}}{3} (1^{3/2} - 0^{3/2}) = \frac{2\sqrt{2}}{3} (1 - 0) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $S = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

6.68 а) $y = \frac{x^2}{4}$ и $y = 3 - \frac{x^2}{2}$;

б) $y = x^2 - 6x + 10$ и $y = 6x - x^2$.

а)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{x^2}{4}$ и $y = 3 - \frac{x^2}{2}$, сначала найдем точки пересечения этих кривых. Для этого приравняем правые части уравнений:

$\frac{x^2}{4} = 3 - \frac{x^2}{2}$

Перенесем все члены с $x^2$ в левую часть:

$\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{2} = 3$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 + 2x^2}{4} = 3$

$\frac{3x^2}{4} = 3$

$x^2 = 4$

Отсюда находим абсциссы точек пересечения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Это будут наши пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций больше на интервале $(-2, 2)$. Возьмем пробную точку $x = 0$:

Для $y_1 = \frac{x^2}{4}$, $y_1(0) = \frac{0^2}{4} = 0$.

Для $y_2 = 3 - \frac{x^2}{2}$, $y_2(0) = 3 - \frac{0^2}{2} = 3$.

Поскольку $3 > 0$, на интервале $(-2, 2)$ график функции $y = 3 - \frac{x^2}{2}$ расположен выше графика функции $y = \frac{x^2}{4}$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций по отрезку $[-2, 2]$:

$S = \int_{-2}^{2} \left( \left(3 - \frac{x^2}{2}\right) - \frac{x^2}{4} \right) dx = \int_{-2}^{2} \left( 3 - \frac{3x^2}{4} \right) dx$

Вычислим интеграл:

$\int \left( 3 - \frac{3x^2}{4} \right) dx = 3x - \frac{3}{4} \cdot \frac{x^3}{3} + C = 3x - \frac{x^3}{4} + C$

$S = \left[ 3x - \frac{x^3}{4} \right]_{-2}^{2} = \left( 3(2) - \frac{2^3}{4} \right) - \left( 3(-2) - \frac{(-2)^3}{4} \right)$

$S = \left( 6 - \frac{8}{4} \right) - \left( -6 - \frac{-8}{4} \right) = (6 - 2) - (-6 + 2) = 4 - (-4) = 8$

Ответ: $8$

б)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболами $y = x^2 - 6x + 10$ и $y = 6x - x^2$, найдем их точки пересечения, приравняв правые части уравнений:

$x^2 - 6x + 10 = 6x - x^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$2x^2 - 12x + 10 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Это пределы интегрирования.

Определим, какая из функций больше на интервале $(1, 5)$. Возьмем пробную точку $x = 2$:

Для $y_1 = x^2 - 6x + 10$, $y_1(2) = 2^2 - 6(2) + 10 = 4 - 12 + 10 = 2$.

Для $y_2 = 6x - x^2$, $y_2(2) = 6(2) - 2^2 = 12 - 4 = 8$.

Поскольку $8 > 2$, на интервале $(1, 5)$ парабола $y = 6x - x^2$ находится выше параболы $y = x^2 - 6x + 10$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций по отрезку $[1, 5]$:

$S = \int_{1}^{5} \left( (6x - x^2) - (x^2 - 6x + 10) \right) dx = \int_{1}^{5} (-2x^2 + 12x - 10) dx$

Вычислим интеграл:

$\int (-2x^2 + 12x - 10) dx = -2\frac{x^3}{3} + 12\frac{x^2}{2} - 10x + C = -\frac{2}{3}x^3 + 6x^2 - 10x + C$

$S = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 6x^2 - 10x \right]_{1}^{5}$

$S = \left( -\frac{2}{3}(5)^3 + 6(5)^2 - 10(5) \right) - \left( -\frac{2}{3}(1)^3 + 6(1)^2 - 10(1) \right)$

$S = \left( -\frac{250}{3} + 150 - 50 \right) - \left( -\frac{2}{3} + 6 - 10 \right)$

$S = \left( -\frac{250}{3} + 100 \right) - \left( -\frac{2}{3} - 4 \right)$

$S = \left( \frac{-250 + 300}{3} \right) - \left( \frac{-2 - 12}{3} \right) = \frac{50}{3} - \left( -\frac{14}{3} \right) = \frac{50+14}{3} = \frac{64}{3}$

Ответ: $\frac{64}{3}$

6.69 а) $y = x^2 - 5$ и $y = -0.5x^2 + 1$;

б) $y = x^2 - 4x + 1$ и $y = -2x^2 + 8x + 1$.

а) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = x^2 - 5$ и $y = -0,5x^2 + 1$ необходимо решить систему уравнений. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 5 = -0,5x^2 + 1$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а числовые члены — в правую:

$x^2 + 0,5x^2 = 1 + 5$

$1,5x^2 = 6$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$x^2 = \frac{6}{1,5}$

$x^2 = 4$

Уравнение имеет два корня:

$x_1 = 2$

$x_2 = -2$

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x$, подставив их в любое из исходных уравнений. Используем $y = x^2 - 5$:

При $x_1 = 2$: $y_1 = (2)^2 - 5 = 4 - 5 = -1$.

При $x_2 = -2$: $y_2 = (-2)^2 - 5 = 4 - 5 = -1$.

Таким образом, мы получили две точки пересечения.

Ответ: $(2; -1)$ и $(-2; -1)$.

б) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = x^2 - 4x + 1$ и $y = -2x^2 + 8x + 1$ приравняем их правые части:

$x^2 - 4x + 1 = -2x^2 + 8x + 1$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + 2x^2) + (-4x - 8x) + (1 - 1) = 0$

$3x^2 - 12x = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся за скобки общий множитель $3x$:

$3x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$3x = 0$ или $x - 4 = 0$

Отсюда находим два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 4$

Найдем соответствующие значения $y$, подставив их в любое из исходных уравнений. Используем $y = x^2 - 4x + 1$:

При $x_1 = 0$: $y_1 = (0)^2 - 4(0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$.

При $x_2 = 4$: $y_2 = (4)^2 - 4(4) + 1 = 16 - 16 + 1 = 1$.

Таким образом, мы получили две точки пересечения.

Ответ: $(0; 1)$ и $(4; 1)$.

6.70* а) $y = x^2 - \pi x$ и $y = \sin x$;

б) $y = \sin x$, $y = \cos x$, $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{5\pi}{4}$.

а)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - \pi x$ и $y = \sin x$, необходимо сначала найти точки пересечения этих кривых. Для этого приравняем их уравнения:

$x^2 - \pi x = \sin x$

Подбором можно найти два корня этого уравнения. При $x=0$: $0^2 - \pi \cdot 0 = 0$ и $\sin(0) = 0$. Следовательно, $x=0$ является точкой пересечения. При $x=\pi$: $\pi^2 - \pi \cdot \pi = 0$ и $\sin(\pi) = 0$. Следовательно, $x=\pi$ также является точкой пересечения. Эти значения будут пределами интегрирования.

Далее определим, какая из функций принимает большие значения на интервале $(0, \pi)$. На этом интервале функция $y = \sin x$ положительна ($sin x > 0$). Функция $y = x^2 - \pi x = x(x-\pi)$ на интервале $(0, \pi)$ отрицательна, так как $x>0$ и $(x-\pi)<0$. Следовательно, на отрезке $[0, \pi]$ выполняется неравенство $\sin x \ge x^2 - \pi x$, значит, график синуса лежит выше графика параболы.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{\pi} (\sin x - (x^2 - \pi x)) dx = \int_{0}^{\pi} (\sin x - x^2 + \pi x) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$\int (\sin x - x^2 + \pi x) dx = -\cos x - \frac{x^3}{3} + \pi \frac{x^2}{2} + C$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ -\cos x - \frac{x^3}{3} + \frac{\pi x^2}{2} \right]_{0}^{\pi}$

$S = \left( -\cos(\pi) - \frac{\pi^3}{3} + \frac{\pi \cdot \pi^2}{2} \right) - \left( -\cos(0) - \frac{0^3}{3} + \frac{\pi \cdot 0^2}{2} \right)$

$S = \left( -(-1) - \frac{\pi^3}{3} + \frac{\pi^3}{2} \right) - (-1 - 0 + 0)$

$S = \left( 1 + \frac{-2\pi^3 + 3\pi^3}{6} \right) - (-1)$

$S = 1 + \frac{\pi^3}{6} + 1 = 2 + \frac{\pi^3}{6}$

Ответ: $2 + \frac{\pi^3}{6}$

б)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $y = \cos x$ и вертикальными прямыми $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{5\pi}{4}$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx$. В данном случае $a = -\frac{\pi}{4}$, $b = \frac{5\pi}{4}$, $f(x) = \sin x$, $g(x) = \cos x$.

Для того чтобы раскрыть модуль, необходимо определить, на каких участках $\sin x > \cos x$, а на каких $\cos x > \sin x$. Для этого найдем точки их пересечения, решив уравнение $\sin x = \cos x$.

$\sin x = \cos x \implies \tan x = 1$ (при условии $\cos x \ne 0$)

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$. На заданном отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ лежит одна точка пересечения, при $n=0$: $x = \frac{\pi}{4}$. Эта точка делит отрезок интегрирования на два: $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ и $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$.

1. На отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$, например при $x=0$, имеем $\cos(0) = 1$ и $\sin(0) = 0$. Так как $1>0$, на этом отрезке $\cos x \ge \sin x$.

2. На отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$, например при $x=\frac{\pi}{2}$, имеем $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Так как $1>0$, на этом отрезке $\sin x \ge \cos x$.

Следовательно, площадь является суммой двух интегралов:

$S = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x - \cos x) dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{-\pi/4}^{\pi/4} = (\sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4})) - (\sin(-\frac{\pi}{4}) + \cos(-\frac{\pi}{4}))$

$= (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} - 0 = \sqrt{2}$

Вычислим второй интеграл:

$\int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x - \cos x) dx = [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{5\pi/4} = (-\cos(\frac{5\pi}{4}) - \sin(\frac{5\pi}{4})) - (-\cos(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4}))$

$= (-(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2})) - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Общая площадь равна сумме площадей:

$S = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

Ответ: $3\sqrt{2}$

6.71 a) $y = 4 - 0.5x^3$ и $y = 4 - 2x$;

б) $y = 0.5x^3 + 8$ и $y = 2x + 8.

а)

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = 4 - 0,5x^3$ и $y = 4 - 2x$, необходимо найти такие значения $x$, при которых значения $y$ будут одинаковыми. Для этого приравняем правые части уравнений:

$4 - 0,5x^3 = 4 - 2x$

Вычтем 4 из обеих частей уравнения:

$-0,5x^3 = -2x$

Умножим обе части уравнения на -2:

$x^3 = 4x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$x^3 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 4) = 0$

Выражение в скобках является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам три решения для $x$:

$x_1 = 0$

$x_2 - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

$x_3 + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$

Теперь найдем соответствующие ординаты (координаты $y$), подставив каждое значение $x$ в любое из исходных уравнений. Проще использовать уравнение прямой $y = 4 - 2x$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 4 - 2(0) = 4$

Таким образом, первая точка пересечения — $(0; 4)$.

Для $x_2 = 2$:

$y_2 = 4 - 2(2) = 4 - 4 = 0$

Таким образом, вторая точка пересечения — $(2; 0)$.

Для $x_3 = -2$:

$y_3 = 4 - 2(-2) = 4 + 4 = 8$

Таким образом, третья точка пересечения — $(-2; 8)$.

Ответ: $(0; 4)$, $(2; 0)$, $(-2; 8)$.

б)

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = 0,5x^3 + 8$ и $y = 2x + 8$ поступим аналогичным образом. Приравняем правые части уравнений:

$0,5x^3 + 8 = 2x + 8$

Вычтем 8 из обеих частей уравнения:

$0,5x^3 = 2x$

Умножим обе части уравнения на 2:

$x^3 = 4x$

Мы получили то же самое уравнение, что и в пункте а):

$x^3 - 4x = 0$

$x(x - 2)(x + 2) = 0$

Следовательно, абсциссы точек пересечения будут такими же:

$x_1 = 0$

$x_2 = 2$

$x_3 = -2$

Найдем соответствующие ординаты, подставив эти значения $x$ в уравнение $y = 2x + 8$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 2(0) + 8 = 8$

Первая точка пересечения — $(0; 8)$.

Для $x_2 = 2$:

$y_2 = 2(2) + 8 = 4 + 8 = 12$

Вторая точка пересечения — $(2; 12)$.

Для $x_3 = -2$:

$y_3 = 2(-2) + 8 = -4 + 8 = 4$

Третья точка пересечения — $(-2; 4)$.

Ответ: $(0; 8)$, $(2; 12)$, $(-2; 4)$.