Страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

6.53 a) $y = x^2$, $x = 3$, $x = 5$, $y = 0$;

б) $y = x^3$, $x = 1$, $x = 2$, $y = 0$;

В) $y = \frac{1}{x}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0$.

а) Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, используется определенный интеграл. В данном случае фигура ограничена линиями $y = x^2$, $x = 3$, $x = 5$ и $y = 0$. Так как функция $f(x)=x^2$ неотрицательна на отрезке $[3, 5]$, площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx = \int_{3}^{5} x^2 \,dx$

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = x^2$. По правилу интегрирования степенной функции, первообразная $F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$ для вычисления определенного интеграла:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{3}^{5} = \frac{5^3}{3} - \frac{3^3}{3} = \frac{125}{3} - \frac{27}{3} = \frac{125 - 27}{3} = \frac{98}{3}$

Таким образом, искомая площадь равна $\frac{98}{3}$ или $32 \frac{2}{3}$ квадратных единиц.

Ответ: $\frac{98}{3}$

б) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^3$, $x=1$, $x=2$ и $y=0$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Функция $f(x) = x^3$ является неотрицательной на отрезке $[1, 2]$, поэтому площадь $S$ равна:

$S = \int_{1}^{2} x^3 \,dx$

Первообразной для функции $f(x) = x^3$ является функция $F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$

Искомая площадь равна $\frac{15}{4}$ или $3.75$ квадратных единиц.

Ответ: $\frac{15}{4}$

в) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x}$, $x=1$, $x=4$ и $y=0$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Функция $f(x) = \frac{1}{x}$ неотрицательна на отрезке $[1, 4]$.

Вычисляем площадь $S$ по формуле:

$S = \int_{1}^{4} \frac{1}{x} \,dx$

Первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ является $F(x) = \ln|x|$. Так как на отрезке $[1, 4]$ значение $x$ положительно, можно использовать $F(x) = \ln(x)$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \ln(x) \right]_{1}^{4} = \ln(4) - \ln(1)$

Учитывая, что $\ln(1) = 0$, получаем:

$S = \ln(4)$

Искомая площадь равна $\ln(4)$ квадратных единиц.

Ответ: $\ln(4)$

6.54 а) $y = x^2 - 4x + 6$ и $y = 6$;

б) $y = -x^2 - 4x + 5$ и $y = 5$;

В) $y = x^2 + 1$ и $y = 3 - x$;

г) $y = 4 - x^2$ и $y = x + 2$.

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 4x + 6$ и $y = 6$, необходимо приравнять их правые части, так как в точках пересечения значения $y$ совпадают:

$x^2 - 4x + 6 = 6$

Перенесем 6 в левую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду:

$x^2 - 4x + 6 - 6 = 0$

$x^2 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$ или $x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$

Из второго уравнения нам известно, что $y = 6$. Следовательно, координаты точек пересечения:

Для $x_1 = 0$, $y_1 = 6$. Точка $(0, 6)$.

Для $x_2 = 4$, $y_2 = 6$. Точка $(4, 6)$.

Ответ: $(0, 6)$, $(4, 6)$.

б) Найдем точки пересечения графиков функций $y = -x^2 - 4x + 5$ и $y = 5$. Приравняем правые части уравнений:

$-x^2 - 4x + 5 = 5$

Перенесем 5 в левую часть:

$-x^2 - 4x + 5 - 5 = 0$

$-x^2 - 4x = 0$

Умножим обе части на -1 для удобства решения:

$x^2 + 4x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 4) = 0$

Находим корни уравнения:

$x_1 = 0$ или $x + 4 = 0 \implies x_2 = -4$

Значение $y$ для обеих точек равно 5.

Координаты точек пересечения:

Для $x_1 = -4$, $y_1 = 5$. Точка $(-4, 5)$.

Для $x_2 = 0$, $y_2 = 5$. Точка $(0, 5)$.

Ответ: $(-4, 5)$, $(0, 5)$.

в) Найдем точки пересечения графиков функций $y = x^2 + 1$ и $y = 3 - x$. Приравняем их правые части:

$x^2 + 1 = 3 - x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + x + 1 - 3 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать $y = 3 - x$:

Для $x_1 = -2$, $y_1 = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5$. Точка $(-2, 5)$.

Для $x_2 = 1$, $y_2 = 3 - 1 = 2$. Точка $(1, 2)$.

Ответ: $(-2, 5)$, $(1, 2)$.

г) Найдем точки пересечения графиков функций $y = 4 - x^2$ и $y = x + 2$. Приравняем правые части:

$4 - x^2 = x + 2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 = x^2 + x + 2 - 4$

$x^2 + x - 2 = 0$

Полученное квадратное уравнение идентично уравнению из пункта в), поэтому его корни также $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение прямой $y = x + 2$:

Для $x_1 = -2$, $y_1 = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.

Для $x_2 = 1$, $y_2 = 1 + 2 = 3$. Точка $(1, 3)$.

Ответ: $(-2, 0)$, $(1, 3)$.

6.55 a) $y = x^2 - 2x + 3$ и $y = 3 + 2x;$

б) $y = x^2 + 2x + 5$ и $y = 5 - 2x;$

В) $y = x^2 + 2x + 4$ и $y = 4 - 2x;$

г) $y = x^2 - 2x + 6$ и $y = 2x + 6.$

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 2x + 3$ и $y = 3 + 2x$, необходимо решить систему этих уравнений. Приравняем правые части уравнений, так как в точках пересечения значения $y$ у графиков совпадают:

$x^2 - 2x + 3 = 3 + 2x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 2x + 3 - 3 = 0$

$x^2 - 4x = 0$

Решим это неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 4) = 0$

Отсюда находим абсциссы (координаты $x$) точек пересечения:

$x_1 = 0$ или $x_2 = 4$.

Теперь найдем ординаты (координаты $y$) этих точек, подставив найденные значения $x$ в уравнение прямой $y = 3 + 2x$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 3 + 2 \cdot 0 = 3$.

Первая точка пересечения имеет координаты $(0, 3)$.

Для $x_2 = 4$:

$y_2 = 3 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11$.

Вторая точка пересечения имеет координаты $(4, 11)$.

Ответ: $(0, 3)$, $(4, 11)$.

б) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 + 2x + 5$ и $y = 5 - 2x$, приравняем их правые части:

$x^2 + 2x + 5 = 5 - 2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 + 2x + 2x + 5 - 5 = 0$

$x^2 + 4x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 4) = 0$

Находим абсциссы точек пересечения:

$x_1 = 0$ или $x_2 = -4$.

Теперь найдем соответствующие ординаты, подставив $x$ в уравнение $y = 5 - 2x$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 5 - 2 \cdot 0 = 5$.

Первая точка пересечения: $(0, 5)$.

Для $x_2 = -4$:

$y_2 = 5 - 2 \cdot (-4) = 5 + 8 = 13$.

Вторая точка пересечения: $(-4, 13)$.

Ответ: $(0, 5)$, $(-4, 13)$.

в) Найдем точки пересечения графиков функций $y = x^2 + 2x + 4$ и $y = 4 - 2x$. Приравниваем правые части:

$x^2 + 2x + 4 = 4 - 2x$

Переносим все слагаемые в левую часть:

$x^2 + 2x + 2x + 4 - 4 = 0$

$x^2 + 4x = 0$

Выносим $x$ за скобки:

$x(x + 4) = 0$

Находим абсциссы точек пересечения:

$x_1 = 0$ или $x_2 = -4$.

Теперь найдем ординаты, подставив $x$ в уравнение $y = 4 - 2x$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 4 - 2 \cdot 0 = 4$.

Первая точка пересечения: $(0, 4)$.

Для $x_2 = -4$:

$y_2 = 4 - 2 \cdot (-4) = 4 + 8 = 12$.

Вторая точка пересечения: $(-4, 12)$.

Ответ: $(0, 4)$, $(-4, 12)$.

г) Найдем точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 2x + 6$ и $y = 2x + 6$. Приравниваем правые части:

$x^2 - 2x + 6 = 2x + 6$

Переносим все слагаемые в левую часть:

$x^2 - 2x - 2x + 6 - 6 = 0$

$x^2 - 4x = 0$

Выносим $x$ за скобки:

$x(x - 4) = 0$

Находим абсциссы точек пересечения:

$x_1 = 0$ или $x_2 = 4$.

Теперь найдем ординаты, подставив $x$ в уравнение $y = 2x + 6$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 2 \cdot 0 + 6 = 6$.

Первая точка пересечения: $(0, 6)$.

Для $x_2 = 4$:

$y_2 = 2 \cdot 4 + 6 = 8 + 6 = 14$.

Вторая точка пересечения: $(4, 14)$.

Ответ: $(0, 6)$, $(4, 14)$.

6.56 a) $y = \sin x, x = -\pi, x = \pi, y = 0;$

б) $y = \sin x, x = 0, x = 2\pi, y = 0;$

в) $y = \cos x, x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{3\pi}{2}, y = 0;$

г) $y = \cos x, x = 0, x = 2\pi, y = 0.$

а) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $x = -\pi$, $x = \pi$ и $y = 0$ (ось Ox), необходимо вычислить определенный интеграл от модуля функции $y = \sin x$ в пределах от $-\pi$ до $\pi$.
Формула для площади: $S = \int_{-\pi}^{\pi} |\sin x| \,dx$.
Разобьем интервал интегрирования $[-\pi, \pi]$ на две части, учитывая знак функции $\sin x$:
1. На интервале $[-\pi, 0]$ функция $\sin x \le 0$, следовательно, $|\sin x| = -\sin x$.
2. На интервале $[0, \pi]$ функция $\sin x \ge 0$, следовательно, $|\sin x| = \sin x$.
Таким образом, интеграл можно записать в виде суммы двух интегралов:
$S = \int_{-\pi}^{0} (-\sin x) \,dx + \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx$
Вычислим каждый интеграл по отдельности:
$\int_{-\pi}^{0} (-\sin x) \,dx = [\cos x]_{-\pi}^{0} = \cos(0) - \cos(-\pi) = 1 - (-1) = 2$.
$\int_{0}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = -(\cos(\pi) - \cos(0)) = -(-1 - 1) = 2$.
Общая площадь равна сумме площадей:
$S = 2 + 2 = 4$.
Ответ: 4.

б) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $x = 0$, $x = 2\pi$ и $y = 0$.
Площадь вычисляется по формуле: $S = \int_{0}^{2\pi} |\sin x| \,dx$.
Рассмотрим знак функции $\sin x$ на интервале $[0, 2\pi]$:
1. На интервале $[0, \pi]$ функция $\sin x \ge 0$, поэтому $|\sin x| = \sin x$.
2. На интервале $[\pi, 2\pi]$ функция $\sin x \le 0$, поэтому $|\sin x| = -\sin x$.
Интеграл равен сумме двух интегралов:
$S = \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx + \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin x) \,dx$
Вычисляем интегралы:
$\int_{0}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = -(\cos(\pi) - \cos(0)) = -(-1 - 1) = 2$.
$\int_{\pi}^{2\pi} (-\sin x) \,dx = [\cos x]_{\pi}^{2\pi} = \cos(2\pi) - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2$.
Общая площадь:
$S = 2 + 2 = 4$.
Ответ: 4.

в) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{3\pi}{2}$ и $y = 0$.
Площадь вычисляется по формуле: $S = \int_{\pi/2}^{3\pi/2} |\cos x| \,dx$.
На всем интервале интегрирования $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ функция $\cos x \le 0$, так как это соответствует второй и третьей четвертям координатной плоскости. Следовательно, $|\cos x| = -\cos x$.
$S = \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\cos x) \,dx$
Вычисляем интеграл:
$S = [-\sin x]_{\pi/2}^{3\pi/2} = -\sin(\frac{3\pi}{2}) - (-\sin(\frac{\pi}{2})) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$.
Ответ: 2.

г) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $x = 0$, $x = 2\pi$ и $y = 0$.
Площадь вычисляется по формуле: $S = \int_{0}^{2\pi} |\cos x| \,dx$.
Рассмотрим знак функции $\cos x$ на интервале $[0, 2\pi]$:
1. На интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $\cos x \ge 0$, поэтому $|\cos x| = \cos x$.
2. На интервале $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ функция $\cos x \le 0$, поэтому $|\cos x| = -\cos x$.
3. На интервале $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ функция $\cos x \ge 0$, поэтому $|\cos x| = \cos x$.
Разобьем интеграл на три части:
$S = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \,dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\cos x) \,dx + \int_{3\pi/2}^{2\pi} \cos x \,dx$
Вычислим каждый интеграл:
$\int_{0}^{\pi/2} \cos x \,dx = [\sin x]_{0}^{\pi/2} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.
$\int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\cos x) \,dx = [-\sin x]_{\pi/2}^{3\pi/2} = -\sin(\frac{3\pi}{2}) - (-\sin(\frac{\pi}{2})) = -(-1) - (-1) = 2$.
$\int_{3\pi/2}^{2\pi} \cos x \,dx = [\sin x]_{3\pi/2}^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(\frac{3\pi}{2}) = 0 - (-1) = 1$.
Общая площадь равна сумме этих значений:
$S = 1 + 2 + 1 = 4$.
Ответ: 4.

6.57 a) $y = x^3, x = 1, y = 0;$

B) $y = x^3, x = -1, x = 1, y = 0.$

б) $y = x^3, x = -1, y = 0;$

а)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^3$, $x = 1$ и $y = 0$. Линия $y=0$ представляет собой ось абсцисс.

Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла. Пределы интегрирования определяются вертикальной прямой $x=1$ и точкой пересечения кривой $y=x^3$ с осью $y=0$. Решив уравнение $x^3 = 0$, находим $x=0$. Таким образом, интегрирование будет производиться по отрезку $[0, 1]$.

На отрезке $[0, 1]$ функция $f(x) = x^3$ является неотрицательной ($x^3 \ge 0$), поэтому площадь $S$ равна интегралу от функции $f(x)$:

$S = \int_0^1 x^3 \,dx$

Для вычисления интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница: $S = \left[ \frac{x^{3+1}}{3+1} \right]_0^1 = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^3$, $x = -1$ и $y = 0$.

Пределы интегрирования в данном случае — это $x = -1$ и точка пересечения кривой с осью абсцисс, то есть $x = 0$. Интегрирование проводится по отрезку $[-1, 0]$.

На отрезке $[-1, 0]$ функция $f(x) = x^3$ является неположительной ($x^3 \le 0$). Так как площадь не может быть отрицательной, для ее вычисления необходимо интегрировать модуль функции, который на данном отрезке равен $|x^3| = -x^3$.

$S = \int_{-1}^0 |x^3| \,dx = \int_{-1}^0 (-x^3) \,dx$

Вычисляем интеграл: $S = \left[ -\frac{x^4}{4} \right]_{-1}^0 = \left(-\frac{0^4}{4}\right) - \left(-\frac{(-1)^4}{4}\right) = 0 - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

в)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^3$, $x = -1$, $x = 1$ и $y = 0$.

Интегрирование проводится по отрезку $[-1, 1]$. На этом отрезке функция $y=x^3$ меняет знак в точке $x=0$. Она неположительна на $[-1, 0]$ и неотрицательна на $[0, 1]$. Поэтому для вычисления общей площади необходимо разбить интеграл на два:

$S = \int_{-1}^1 |x^3| \,dx = \int_{-1}^0 |x^3| \,dx + \int_0^1 |x^3| \,dx$

$S = \int_{-1}^0 (-x^3) \,dx + \int_0^1 x^3 \,dx$

Значения этих интегралов были найдены в предыдущих пунктах: $\int_0^1 x^3 \,dx = \frac{1}{4}$ (из пункта а), $\int_{-1}^0 (-x^3) \,dx = \frac{1}{4}$ (из пункта б).

Следовательно, общая площадь равна сумме площадей: $S = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Альтернативный способ: Площадь можно найти, используя свойство четности функции. Функция $g(x) = |x^3|$ является четной, так как $|(-x)^3| = |-x^3| = |x^3| = g(x)$. Для четной функции интеграл по симметричному интервалу $[-a, a]$ равен удвоенному интегралу по интервалу $[0, a]$. $S = \int_{-1}^1 |x^3| \,dx = 2 \int_0^1 |x^3| \,dx = 2 \int_0^1 x^3 \,dx = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

6.58* a) $y - x^2 = 0$ и $y^2 - x = 0;$

В) $y = (1 - x)(x - 5)$, $y = 4$ и $x = 1;$

Г) $y = (x + 1)(3 - x)$, $y = 4$ и $x = 3.$

б) $y - x^2 = 0$ и $y^2 + x = 0;$

а)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y - x^2 = 0$ и $y^2 - x = 0$, представим уравнения в виде функций: $y = x^2$ и $x = y^2$. Поскольку из первого уравнения $y \ge 0$, то второе уравнение можно записать как $y = \sqrt{x}$. Фигура ограничена двумя параболами.

Найдем точки пересечения кривых для определения пределов интегрирования, приравняв выражения для $y$:

$x^2 = \sqrt{x}$
$x^4 = x$
$x^4 - x = 0$
$x(x^3 - 1) = 0$

Решениями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Это пределы интегрирования по оси $x$. В интервале $(0, 1)$ значение функции $y = \sqrt{x}$ больше значения функции $y = x^2$. Например, при $x=0.25$, $\sqrt{0.25}=0.5$, а $x^2=0.0625$. Таким образом, кривая $y = \sqrt{x}$ является верхней границей фигуры.

Площадь $S$ вычисляется как интеграл разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) dx = \int_{0}^{1} (x^{1/2} - x^2) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{2}{3}x\sqrt{x} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left(\frac{2}{3}(1)\sqrt{1} - \frac{1^3}{3}\right) - (0) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

б)

Фигура ограничена линиями $y - x^2 = 0$ и $y^2 + x = 0$. Запишем их как $y = x^2$ и $x = -y^2$.

Найдем точки пересечения, подставив $y=x^2$ во второе уравнение:

$(x^2)^2 + x = 0$
$x^4 + x = 0$
$x(x^3 + 1) = 0$

Решениями являются $x_1 = 0$ (тогда $y_1=0$) и $x_2 = -1$ (тогда $y_2=(-1)^2=1$). Точки пересечения — (0, 0) и (-1, 1).

Фигура расположена во втором квадранте. Удобнее провести интегрирование по переменной $y$ от 0 до 1. Для этого выразим $x$ через $y$ для каждой кривой. Из $y=x^2$ и условия $x \le 0$ получаем $x = -\sqrt{y}$. Второе уравнение уже имеет вид $x = -y^2$. В интервале $y \in (0, 1)$ кривая $x=-y^2$ находится правее кривой $x=-\sqrt{y}$ (например, при $y=1/4$, $x=-1/16 > x=-1/2$).

Площадь $S$ вычисляется как интеграл разности правой и левой границ:

$S = \int_{0}^{1} (-y^2 - (-\sqrt{y})) dy = \int_{0}^{1} (\sqrt{y} - y^2) dy$

Данный интеграл аналогичен предыдущему пункту:

$S = \left[ \frac{2}{3}y^{3/2} - \frac{1}{3}y^3 \right]_{0}^{1} = \left(\frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1}{3}(1)^3\right) - (0) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

в)

Фигура ограничена параболой $y = (1 - x)(x - 5)$, прямой $y = 4$ и прямой $x = 1$.

Раскроем скобки в уравнении параболы: $y = -x^2 + 6x - 5$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{6}{2(-1)} = 3$. Ордината вершины: $y_v = -(3)^2 + 6(3) - 5 = 4$. Вершина параболы находится в точке (3, 4).

Прямая $y=4$ касается параболы в ее вершине. Таким образом, фигура ограничена сверху прямой $y=4$, снизу — параболой, слева — прямой $x=1$, а справа — точкой касания $x=3$. Интегрирование проводится по $x$ от 1 до 3.

Площадь $S$ равна интегралу от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{1}^{3} (4 - (-x^2 + 6x - 5)) dx = \int_{1}^{3} (x^2 - 6x + 9) dx$

Подынтегральное выражение является полным квадратом:

$S = \int_{1}^{3} (x - 3)^2 dx = \left[ \frac{(x-3)^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{(3-3)^3}{3} - \frac{(1-3)^3}{3} = 0 - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$

г)

Фигура ограничена параболой $y = (x + 1)(3 - x)$, прямой $y = 4$ и прямой $x = 3$.

Раскроем скобки в уравнении параболы: $y = -x^2 + 2x + 3$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{2}{2(-1)} = 1$. Ордината вершины: $y_v = -(1)^2 + 2(1) + 3 = 4$. Вершина параболы находится в точке (1, 4).

Прямая $y=4$ касается параболы в ее вершине. Фигура ограничена сверху прямой $y=4$, снизу — параболой, слева — точкой касания $x=1$, а справа — прямой $x=3$. Интегрирование проводится по $x$ от 1 до 3.

Площадь $S$ равна интегралу от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{1}^{3} (4 - (-x^2 + 2x + 3)) dx = \int_{1}^{3} (x^2 - 2x + 1) dx$

Подынтегральное выражение является полным квадратом:

$S = \int_{1}^{3} (x - 1)^2 dx = \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{(3-1)^3}{3} - \frac{(1-1)^3}{3} = \frac{2^3}{3} - 0 = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$

6.59* a) Найдите ту первообразную для функции $f(x) = 2x + 4$, график которой касается прямой $y = 6x + 3$. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми $y = 6x + 3$ и $y = 0$.

б) Найдите ту первообразную для функции $f(x) = 2x - 2$, график которой касается прямой $y = -4x$. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми $y = -4x$ и $y = 0$.

а)

1. Нахождение первообразной.

Общий вид первообразной для функции $f(x) = 2x + 4$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int (2x + 4) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x + C = x^2 + 4x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

По условию, график первообразной $y = F(x)$ касается прямой $y = 6x + 3$. В точке касания $x_0$ должны выполняться два условия:

1) Значения функций равны: $F(x_0) = 6x_0 + 3$.

2) Значения производных функций равны: $F'(x_0) = (6x + 3)'$.

По определению первообразной, $F'(x) = f(x) = 2x + 4$. Производная прямой $y = 6x + 3$ равна $6$.

Приравниваем производные, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$2x_0 + 4 = 6$

$2x_0 = 2$

$x_0 = 1$

Теперь, используя первое условие, найдем постоянную $C$. Подставим $x_0 = 1$ в уравнения $F(x)$ и $y=6x+3$:

$F(1) = 1^2 + 4(1) + C = 5 + C$

$y(1) = 6(1) + 3 = 9$

Приравниваем значения функций в точке касания:

$5 + C = 9$

$C = 4$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = x^2 + 4x + 4$, что можно записать как $F(x) = (x+2)^2$.

2. Вычисление площади.

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной тремя линиями: параболой $y = (x+2)^2$, прямой $y = 6x + 3$ и прямой $y = 0$ (ось Ox).

Найдем точки пересечения этих линий:

• $y = (x+2)^2$ и $y=0$: $(x+2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Точка $(-2, 0)$.
• $y = 6x+3$ и $y=0$: $6x+3 = 0 \Rightarrow x = -1/2$. Точка $(-1/2, 0)$.
• $y = (x+2)^2$ и $y = 6x+3$: это точка их касания, $x=1$. Точка $(1, 9)$.

Фигура ограничена сверху параболой $y = (x+2)^2$. Нижняя граница фигуры состоит из двух частей: от $x=-2$ до $x=-1/2$ это ось $y=0$, а от $x=-1/2$ до $x=1$ это прямая $y=6x+3$.

Площадь $S$ можно вычислить как сумму двух интегралов:

$S = \int_{-2}^{-1/2} ((x+2)^2 - 0) dx + \int_{-1/2}^{1} ((x+2)^2 - (6x+3)) dx$

Вычисляем первый интеграл:

$\int_{-2}^{-1/2} (x^2 + 4x + 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right]_{-2}^{-1/2} = (\frac{(-1/2)^3}{3} + 2(-1/2)^2 + 4(-1/2)) - (\frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)^2 + 4(-2)) = (-\frac{1}{24} + \frac{1}{2} - 2) - (-\frac{8}{3} + 8 - 8) = -\frac{37}{24} - (-\frac{8}{3}) = -\frac{37}{24} + \frac{64}{24} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$.

Вычисляем второй интеграл, предварительно упростив подынтегральное выражение:

$(x+2)^2 - (6x+3) = x^2 + 4x + 4 - 6x - 3 = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

$\int_{-1/2}^{1} (x-1)^2 dx = \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_{-1/2}^{1} = \frac{(1-1)^3}{3} - \frac{(-1/2-1)^3}{3} = 0 - \frac{(-3/2)^3}{3} = -\frac{-27/8}{3} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$.

Складываем полученные значения:

$S = \frac{9}{8} + \frac{9}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$.

Ответ: первообразная $F(x) = x^2 + 4x + 4$, площадь фигуры $S = \frac{9}{4}$.

б)

1. Нахождение первообразной.

Общий вид первообразной для функции $f(x) = 2x - 2$:

$F(x) = \int (2x - 2) dx = x^2 - 2x + C$.

График $y = F(x)$ касается прямой $y = -4x$. В точке касания $x_0$ производные равны: $F'(x_0) = y'$.

$F'(x) = f(x) = 2x - 2$. Производная $y = -4x$ равна $-4$.

$2x_0 - 2 = -4$

$2x_0 = -2$

$x_0 = -1$

Теперь найдем $C$, приравняв значения функций в точке $x_0 = -1$:

$F(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + C = 1 + 2 + C = 3 + C$

$y(-1) = -4(-1) = 4$

$3 + C = 4$

$C = 1$

Искомая первообразная: $F(x) = x^2 - 2x + 1$, что равносильно $F(x) = (x-1)^2$.

2. Вычисление площади.

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой $y = (x-1)^2$, прямой $y = -4x$ и прямой $y = 0$.

Найдем точки пересечения:

• $y = (x-1)^2$ и $y=0$: $(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$. Точка $(1, 0)$.
• $y = -4x$ и $y=0$: $-4x = 0 \Rightarrow x = 0$. Точка $(0, 0)$.
• $y = (x-1)^2$ и $y = -4x$: точка касания при $x=-1$. Точка $(-1, 4)$.

Верхней границей фигуры является парабола $y=(x-1)^2$. Нижняя граница состоит из двух частей: от $x=-1$ до $x=0$ это прямая $y=-4x$, а от $x=0$ до $x=1$ это прямая $y=0$.

Площадь $S$ вычисляется как сумма двух интегралов:

$S = \int_{-1}^{0} ((x-1)^2 - (-4x)) dx + \int_{0}^{1} ((x-1)^2 - 0) dx$

Вычисляем первый интеграл, упростив выражение:

$(x-1)^2 - (-4x) = x^2 - 2x + 1 + 4x = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.

$\int_{-1}^{0} (x+1)^2 dx = \left[ \frac{(x+1)^3}{3} \right]_{-1}^{0} = \frac{(0+1)^3}{3} - \frac{(-1+1)^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$.

Вычисляем второй интеграл:

$\int_{0}^{1} (x-1)^2 dx = \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{(1-1)^3}{3} - \frac{(0-1)^3}{3} = 0 - \frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$.

Складываем полученные значения:

$S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: первообразная $F(x) = x^2 - 2x + 1$, площадь фигуры $S = \frac{2}{3}$.

6.60* Точка движется по прямой. Зависимость её скорости от времени задана формулой $v = f(t)$. График функции v изображён на рисунке 156, а–в.

a) Какой физический смысл имеет площадь $S$ фигуры, закрашенной на рисунке?

$v = v_0$

$v = at$

$v = v_0 + at$

a)

б)

в)

Рис. 156

б) Определите по рисунку путь, пройденный точкой за промежуток времени: $[0; t_1]; [0; t_2]; [t_1; t_2]$, считая, что 1 единица на оси $Ot$ соответствует 1 с, 1 единица на оси $Ov$ соответствует 1 м/с.

а) В кинематике путь, пройденный телом при прямолинейном движении в одном направлении, определяется как интеграл от скорости по времени: $s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$. Геометрически, определенный интеграл от неотрицательной функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ равен площади фигуры, ограниченной графиком этой функции, осью абсцисс ($Ox$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

На представленных графиках по оси абсцисс отложено время $t$, а по оси ординат — скорость $v$. Следовательно, закрашенная площадь $S$, ограниченная графиком скорости $v=f(t)$, осью времени $Ot$ и вертикальными прямыми $t=t_1$ и $t=t_2$, численно равна пути, который прошла точка за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$.

Ответ: Физический смысл площади $S$ — это путь, пройденный точкой за промежуток времени $[t_1; t_2]$.

б) Путь, пройденный точкой за указанные промежутки времени, можно найти, вычислив площадь под графиком скорости на этих промежутках. Будем считать, что 1 единица на оси $Ot$ равна 1 с, а 1 единица на оси $Ov$ равна 1 м/с. Тогда численное значение площади будет соответствовать пути в метрах.

Для рисунка а) (равномерное движение, $v=v_0$):
Путь — это площадь прямоугольника.

• За промежуток $[0; t_1]$: путь $s = v_0 \cdot t_1$.
• За промежуток $[0; t_2]$: путь $s = v_0 \cdot t_2$.
• За промежуток $[t_1; t_2]$: путь $s = v_0 \cdot (t_2 - t_1)$.

Для рисунка б) (равноускоренное движение из состояния покоя, $v=at$):
Путь — это площадь треугольника или трапеции.

• За промежуток $[0; t_1]$: путь $s = \frac{1}{2} t_1 \cdot v(t_1) = \frac{1}{2} t_1 \cdot (at_1) = \frac{at_1^2}{2}$.
• За промежуток $[0; t_2]$: путь $s = \frac{1}{2} t_2 \cdot v(t_2) = \frac{1}{2} t_2 \cdot (at_2) = \frac{at_2^2}{2}$.
• За промежуток $[t_1; t_2]$: путь $s = \frac{v(t_1)+v(t_2)}{2} \cdot (t_2 - t_1) = \frac{at_1+at_2}{2} \cdot (t_2 - t_1) = \frac{a(t_2^2 - t_1^2)}{2}$.

Для рисунка в) (равноускоренное движение с начальной скоростью, $v=v_0+at$):
Путь — это площадь трапеции.

• За промежуток $[0; t_1]$: путь $s = \frac{v(0)+v(t_1)}{2} \cdot t_1 = \frac{v_0 + (v_0+at_1)}{2} \cdot t_1 = v_0 t_1 + \frac{at_1^2}{2}$.
• За промежуток $[0; t_2]$: путь $s = \frac{v(0)+v(t_2)}{2} \cdot t_2 = \frac{v_0 + (v_0+at_2)}{2} \cdot t_2 = v_0 t_2 + \frac{at_2^2}{2}$.
• За промежуток $[t_1; t_2]$: путь $s = \frac{v(t_1)+v(t_2)}{2} \cdot (t_2 - t_1) = \frac{(v_0+at_1) + (v_0+at_2)}{2} \cdot (t_2 - t_1) = v_0(t_2-t_1) + \frac{a(t_2^2 - t_1^2)}{2}$.

Ответ:
Для рисунка а): за $[0; t_1]$ путь равен $v_0 t_1$; за $[0; t_2]$ — $v_0 t_2$; за $[t_1; t_2]$ — $v_0(t_2-t_1)$.
Для рисунка б): за $[0; t_1]$ путь равен $\frac{at_1^2}{2}$; за $[0; t_2]$ — $\frac{at_2^2}{2}$; за $[t_1; t_2]$ — $\frac{a(t_2^2-t_1^2)}{2}$.
Для рисунка в): за $[0; t_1]$ путь равен $v_0 t_1 + \frac{at_1^2}{2}$; за $[0; t_2]$ — $v_0 t_2 + \frac{at_2^2}{2}$; за $[t_1; t_2]$ — $v_0(t_2-t_1) + \frac{a(t_2^2-t_1^2)}{2}$.