Номер 6.57, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.57, страница 190.

6.57 a) $y = x^3, x = 1, y = 0;$

B) $y = x^3, x = -1, x = 1, y = 0.$

б) $y = x^3, x = -1, y = 0;$

а)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^3$, $x = 1$ и $y = 0$. Линия $y=0$ представляет собой ось абсцисс.

Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла. Пределы интегрирования определяются вертикальной прямой $x=1$ и точкой пересечения кривой $y=x^3$ с осью $y=0$. Решив уравнение $x^3 = 0$, находим $x=0$. Таким образом, интегрирование будет производиться по отрезку $[0, 1]$.

На отрезке $[0, 1]$ функция $f(x) = x^3$ является неотрицательной ($x^3 \ge 0$), поэтому площадь $S$ равна интегралу от функции $f(x)$:

$S = \int_0^1 x^3 \,dx$

Для вычисления интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница: $S = \left[ \frac{x^{3+1}}{3+1} \right]_0^1 = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^3$, $x = -1$ и $y = 0$.

Пределы интегрирования в данном случае — это $x = -1$ и точка пересечения кривой с осью абсцисс, то есть $x = 0$. Интегрирование проводится по отрезку $[-1, 0]$.

На отрезке $[-1, 0]$ функция $f(x) = x^3$ является неположительной ($x^3 \le 0$). Так как площадь не может быть отрицательной, для ее вычисления необходимо интегрировать модуль функции, который на данном отрезке равен $|x^3| = -x^3$.

$S = \int_{-1}^0 |x^3| \,dx = \int_{-1}^0 (-x^3) \,dx$

Вычисляем интеграл: $S = \left[ -\frac{x^4}{4} \right]_{-1}^0 = \left(-\frac{0^4}{4}\right) - \left(-\frac{(-1)^4}{4}\right) = 0 - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

в)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^3$, $x = -1$, $x = 1$ и $y = 0$.

Интегрирование проводится по отрезку $[-1, 1]$. На этом отрезке функция $y=x^3$ меняет знак в точке $x=0$. Она неположительна на $[-1, 0]$ и неотрицательна на $[0, 1]$. Поэтому для вычисления общей площади необходимо разбить интеграл на два:

$S = \int_{-1}^1 |x^3| \,dx = \int_{-1}^0 |x^3| \,dx + \int_0^1 |x^3| \,dx$

$S = \int_{-1}^0 (-x^3) \,dx + \int_0^1 x^3 \,dx$

Значения этих интегралов были найдены в предыдущих пунктах: $\int_0^1 x^3 \,dx = \frac{1}{4}$ (из пункта а), $\int_{-1}^0 (-x^3) \,dx = \frac{1}{4}$ (из пункта б).

Следовательно, общая площадь равна сумме площадей: $S = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Альтернативный способ: Площадь можно найти, используя свойство четности функции. Функция $g(x) = |x^3|$ является четной, так как $|(-x)^3| = |-x^3| = |x^3| = g(x)$. Для четной функции интеграл по симметричному интервалу $[-a, a]$ равен удвоенному интегралу по интервалу $[0, a]$. $S = \int_{-1}^1 |x^3| \,dx = 2 \int_0^1 |x^3| \,dx = 2 \int_0^1 x^3 \,dx = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.