Номер 6.59, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.59, страница 190.

6.59* a) Найдите ту первообразную для функции $f(x) = 2x + 4$, график которой касается прямой $y = 6x + 3$. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми $y = 6x + 3$ и $y = 0$.

б) Найдите ту первообразную для функции $f(x) = 2x - 2$, график которой касается прямой $y = -4x$. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми $y = -4x$ и $y = 0$.

а)

1. Нахождение первообразной.

Общий вид первообразной для функции $f(x) = 2x + 4$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int (2x + 4) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x + C = x^2 + 4x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

По условию, график первообразной $y = F(x)$ касается прямой $y = 6x + 3$. В точке касания $x_0$ должны выполняться два условия:

1) Значения функций равны: $F(x_0) = 6x_0 + 3$.

2) Значения производных функций равны: $F'(x_0) = (6x + 3)'$.

По определению первообразной, $F'(x) = f(x) = 2x + 4$. Производная прямой $y = 6x + 3$ равна $6$.

Приравниваем производные, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$2x_0 + 4 = 6$

$2x_0 = 2$

$x_0 = 1$

Теперь, используя первое условие, найдем постоянную $C$. Подставим $x_0 = 1$ в уравнения $F(x)$ и $y=6x+3$:

$F(1) = 1^2 + 4(1) + C = 5 + C$

$y(1) = 6(1) + 3 = 9$

Приравниваем значения функций в точке касания:

$5 + C = 9$

$C = 4$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = x^2 + 4x + 4$, что можно записать как $F(x) = (x+2)^2$.

2. Вычисление площади.

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной тремя линиями: параболой $y = (x+2)^2$, прямой $y = 6x + 3$ и прямой $y = 0$ (ось Ox).

Найдем точки пересечения этих линий:

• $y = (x+2)^2$ и $y=0$: $(x+2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Точка $(-2, 0)$.
• $y = 6x+3$ и $y=0$: $6x+3 = 0 \Rightarrow x = -1/2$. Точка $(-1/2, 0)$.
• $y = (x+2)^2$ и $y = 6x+3$: это точка их касания, $x=1$. Точка $(1, 9)$.

Фигура ограничена сверху параболой $y = (x+2)^2$. Нижняя граница фигуры состоит из двух частей: от $x=-2$ до $x=-1/2$ это ось $y=0$, а от $x=-1/2$ до $x=1$ это прямая $y=6x+3$.

Площадь $S$ можно вычислить как сумму двух интегралов:

$S = \int_{-2}^{-1/2} ((x+2)^2 - 0) dx + \int_{-1/2}^{1} ((x+2)^2 - (6x+3)) dx$

Вычисляем первый интеграл:

$\int_{-2}^{-1/2} (x^2 + 4x + 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right]_{-2}^{-1/2} = (\frac{(-1/2)^3}{3} + 2(-1/2)^2 + 4(-1/2)) - (\frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)^2 + 4(-2)) = (-\frac{1}{24} + \frac{1}{2} - 2) - (-\frac{8}{3} + 8 - 8) = -\frac{37}{24} - (-\frac{8}{3}) = -\frac{37}{24} + \frac{64}{24} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$.

Вычисляем второй интеграл, предварительно упростив подынтегральное выражение:

$(x+2)^2 - (6x+3) = x^2 + 4x + 4 - 6x - 3 = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

$\int_{-1/2}^{1} (x-1)^2 dx = \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_{-1/2}^{1} = \frac{(1-1)^3}{3} - \frac{(-1/2-1)^3}{3} = 0 - \frac{(-3/2)^3}{3} = -\frac{-27/8}{3} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$.

Складываем полученные значения:

$S = \frac{9}{8} + \frac{9}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$.

Ответ: первообразная $F(x) = x^2 + 4x + 4$, площадь фигуры $S = \frac{9}{4}$.

---

б)

1. Нахождение первообразной.

Общий вид первообразной для функции $f(x) = 2x - 2$:

$F(x) = \int (2x - 2) dx = x^2 - 2x + C$.

График $y = F(x)$ касается прямой $y = -4x$. В точке касания $x_0$ производные равны: $F'(x_0) = y'$.

$F'(x) = f(x) = 2x - 2$. Производная $y = -4x$ равна $-4$.

$2x_0 - 2 = -4$

$2x_0 = -2$

$x_0 = -1$

Теперь найдем $C$, приравняв значения функций в точке $x_0 = -1$:

$F(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + C = 1 + 2 + C = 3 + C$

$y(-1) = -4(-1) = 4$

$3 + C = 4$

$C = 1$

Искомая первообразная: $F(x) = x^2 - 2x + 1$, что равносильно $F(x) = (x-1)^2$.

2. Вычисление площади.

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой $y = (x-1)^2$, прямой $y = -4x$ и прямой $y = 0$.

Найдем точки пересечения:

• $y = (x-1)^2$ и $y=0$: $(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$. Точка $(1, 0)$.
• $y = -4x$ и $y=0$: $-4x = 0 \Rightarrow x = 0$. Точка $(0, 0)$.
• $y = (x-1)^2$ и $y = -4x$: точка касания при $x=-1$. Точка $(-1, 4)$.

Верхней границей фигуры является парабола $y=(x-1)^2$. Нижняя граница состоит из двух частей: от $x=-1$ до $x=0$ это прямая $y=-4x$, а от $x=0$ до $x=1$ это прямая $y=0$.

Площадь $S$ вычисляется как сумма двух интегралов:

$S = \int_{-1}^{0} ((x-1)^2 - (-4x)) dx + \int_{0}^{1} ((x-1)^2 - 0) dx$

Вычисляем первый интеграл, упростив выражение:

$(x-1)^2 - (-4x) = x^2 - 2x + 1 + 4x = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.

$\int_{-1}^{0} (x+1)^2 dx = \left[ \frac{(x+1)^3}{3} \right]_{-1}^{0} = \frac{(0+1)^3}{3} - \frac{(-1+1)^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$.

Вычисляем второй интеграл:

$\int_{0}^{1} (x-1)^2 dx = \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{(1-1)^3}{3} - \frac{(0-1)^3}{3} = 0 - \frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$.

Складываем полученные значения:

$S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: первообразная $F(x) = x^2 - 2x + 1$, площадь фигуры $S = \frac{2}{3}$.