Номер 6.55, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.55, страница 190.

6.55 a) $y = x^2 - 2x + 3$ и $y = 3 + 2x;$

б) $y = x^2 + 2x + 5$ и $y = 5 - 2x;$

В) $y = x^2 + 2x + 4$ и $y = 4 - 2x;$

г) $y = x^2 - 2x + 6$ и $y = 2x + 6.$

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 2x + 3$ и $y = 3 + 2x$, необходимо решить систему этих уравнений. Приравняем правые части уравнений, так как в точках пересечения значения $y$ у графиков совпадают:

$x^2 - 2x + 3 = 3 + 2x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 2x + 3 - 3 = 0$

$x^2 - 4x = 0$

Решим это неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 4) = 0$

Отсюда находим абсциссы (координаты $x$) точек пересечения:

$x_1 = 0$ или $x_2 = 4$.

Теперь найдем ординаты (координаты $y$) этих точек, подставив найденные значения $x$ в уравнение прямой $y = 3 + 2x$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 3 + 2 \cdot 0 = 3$.

Первая точка пересечения имеет координаты $(0, 3)$.

Для $x_2 = 4$:

$y_2 = 3 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11$.

Вторая точка пересечения имеет координаты $(4, 11)$.

Ответ: $(0, 3)$, $(4, 11)$.

б) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 + 2x + 5$ и $y = 5 - 2x$, приравняем их правые части:

$x^2 + 2x + 5 = 5 - 2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 + 2x + 2x + 5 - 5 = 0$

$x^2 + 4x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 4) = 0$

Находим абсциссы точек пересечения:

$x_1 = 0$ или $x_2 = -4$.

Теперь найдем соответствующие ординаты, подставив $x$ в уравнение $y = 5 - 2x$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 5 - 2 \cdot 0 = 5$.

Первая точка пересечения: $(0, 5)$.

Для $x_2 = -4$:

$y_2 = 5 - 2 \cdot (-4) = 5 + 8 = 13$.

Вторая точка пересечения: $(-4, 13)$.

Ответ: $(0, 5)$, $(-4, 13)$.

в) Найдем точки пересечения графиков функций $y = x^2 + 2x + 4$ и $y = 4 - 2x$. Приравниваем правые части:

$x^2 + 2x + 4 = 4 - 2x$

Переносим все слагаемые в левую часть:

$x^2 + 2x + 2x + 4 - 4 = 0$

$x^2 + 4x = 0$

Выносим $x$ за скобки:

$x(x + 4) = 0$

Находим абсциссы точек пересечения:

$x_1 = 0$ или $x_2 = -4$.

Теперь найдем ординаты, подставив $x$ в уравнение $y = 4 - 2x$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 4 - 2 \cdot 0 = 4$.

Первая точка пересечения: $(0, 4)$.

Для $x_2 = -4$:

$y_2 = 4 - 2 \cdot (-4) = 4 + 8 = 12$.

Вторая точка пересечения: $(-4, 12)$.

Ответ: $(0, 4)$, $(-4, 12)$.

г) Найдем точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 2x + 6$ и $y = 2x + 6$. Приравниваем правые части:

$x^2 - 2x + 6 = 2x + 6$

Переносим все слагаемые в левую часть:

$x^2 - 2x - 2x + 6 - 6 = 0$

$x^2 - 4x = 0$

Выносим $x$ за скобки:

$x(x - 4) = 0$

Находим абсциссы точек пересечения:

$x_1 = 0$ или $x_2 = 4$.

Теперь найдем ординаты, подставив $x$ в уравнение $y = 2x + 6$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 2 \cdot 0 + 6 = 6$.

Первая точка пересечения: $(0, 6)$.

Для $x_2 = 4$:

$y_2 = 2 \cdot 4 + 6 = 8 + 6 = 14$.

Вторая точка пересечения: $(4, 14)$.

Ответ: $(0, 6)$, $(4, 14)$.