Номер 6.49, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.49, страница 189.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№6.49 (с. 189)
Условие. №6.49 (с. 189)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 189, номер 6.49, Условие

6.49 a) $\int_{0}^{\pi} \sin x dx;$

б) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx;$

в) $\int_{0}^{2\pi} \sin x dx.$

Решение 1. №6.49 (с. 189)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 189, номер 6.49, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 189, номер 6.49, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 189, номер 6.49, Решение 1 (продолжение 3)
Решение 2. №6.49 (с. 189)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 189, номер 6.49, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 189, номер 6.49, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №6.49 (с. 189)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 189, номер 6.49, Решение 3
Решение 4. №6.49 (с. 189)

а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{\pi} \sin x \,dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Первообразной для функции $f(x) = \sin x$ является $F(x) = -\cos x$.

Подставляем пределы интегрирования:

$\int_{0}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2

б) Вычислим интеграл $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = \sin x$ является нечетной, так как $\sin(-x) = -\sin x$. Интеграл от нечетной функции по симметричному относительно нуля промежутку, каким является $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, всегда равен нулю. Проверим это прямым вычислением по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx = [-\cos x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos \frac{\pi}{2}) - (-\cos(-\frac{\pi}{2}))$.

Учитывая, что косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos x$) и $\cos(\frac{\pi}{2})=0$, получаем:

$(-\cos \frac{\pi}{2}) - (-\cos \frac{\pi}{2}) = -0 - (-0) = 0$.

Ответ: 0

в) Вычислим интеграл $\int_{0}^{2\pi} \sin x \,dx$.

Используем первообразную $F(x) = -\cos x$ и формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{2\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{2\pi} = (-\cos(2\pi)) - (-\cos 0)$.

Так как $2\pi$ является периодом для функции косинус, $\cos(2\pi) = \cos 0 = 1$. Следовательно:

$(-1) - (-1) = -1 + 1 = 0$.

Геометрически это означает, что интеграл вычисляется за полный период функции синус. Площадь "положительной" полуволны на $[0, \pi]$ полностью компенсируется площадью "отрицательной" полуволны на $[\pi, 2\pi]$.

Ответ: 0

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6.49 расположенного на странице 189 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.49 (с. 189), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться