Номер 6.49, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.49, страница 189.
№6.49 (с. 189)
Условие. №6.49 (с. 189)
скриншот условия

6.49 a) $\int_{0}^{\pi} \sin x dx;$
б) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx;$
в) $\int_{0}^{2\pi} \sin x dx.$
Решение 1. №6.49 (с. 189)



Решение 2. №6.49 (с. 189)


Решение 3. №6.49 (с. 189)

Решение 4. №6.49 (с. 189)
а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{\pi} \sin x \,dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.
Первообразной для функции $f(x) = \sin x$ является $F(x) = -\cos x$.
Подставляем пределы интегрирования:
$\int_{0}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$.
Ответ: 2
б) Вычислим интеграл $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx$.
Подынтегральная функция $f(x) = \sin x$ является нечетной, так как $\sin(-x) = -\sin x$. Интеграл от нечетной функции по симметричному относительно нуля промежутку, каким является $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, всегда равен нулю. Проверим это прямым вычислением по формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx = [-\cos x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos \frac{\pi}{2}) - (-\cos(-\frac{\pi}{2}))$.
Учитывая, что косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos x$) и $\cos(\frac{\pi}{2})=0$, получаем:
$(-\cos \frac{\pi}{2}) - (-\cos \frac{\pi}{2}) = -0 - (-0) = 0$.
Ответ: 0
в) Вычислим интеграл $\int_{0}^{2\pi} \sin x \,dx$.
Используем первообразную $F(x) = -\cos x$ и формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{2\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{2\pi} = (-\cos(2\pi)) - (-\cos 0)$.
Так как $2\pi$ является периодом для функции косинус, $\cos(2\pi) = \cos 0 = 1$. Следовательно:
$(-1) - (-1) = -1 + 1 = 0$.
Геометрически это означает, что интеграл вычисляется за полный период функции синус. Площадь "положительной" полуволны на $[0, \pi]$ полностью компенсируется площадью "отрицательной" полуволны на $[\pi, 2\pi]$.
Ответ: 0
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6.49 расположенного на странице 189 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.49 (с. 189), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.