Номер 6.49, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.49, страница 189.

Условие.

6.49 a) $\int_{0}^{\pi} \sin x dx;$

б) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx;$

в) $\int_{0}^{2\pi} \sin x dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{\pi} \sin x \,dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Первообразной для функции $f(x) = \sin x$ является $F(x) = -\cos x$.

Подставляем пределы интегрирования:

$\int_{0}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2

б) Вычислим интеграл $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = \sin x$ является нечетной, так как $\sin(-x) = -\sin x$. Интеграл от нечетной функции по симметричному относительно нуля промежутку, каким является $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, всегда равен нулю. Проверим это прямым вычислением по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx = [-\cos x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos \frac{\pi}{2}) - (-\cos(-\frac{\pi}{2}))$.

Учитывая, что косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos x$) и $\cos(\frac{\pi}{2})=0$, получаем:

$(-\cos \frac{\pi}{2}) - (-\cos \frac{\pi}{2}) = -0 - (-0) = 0$.

Ответ: 0

в) Вычислим интеграл $\int_{0}^{2\pi} \sin x \,dx$.

Используем первообразную $F(x) = -\cos x$ и формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{2\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{2\pi} = (-\cos(2\pi)) - (-\cos 0)$.

Так как $2\pi$ является периодом для функции косинус, $\cos(2\pi) = \cos 0 = 1$. Следовательно:

$(-1) - (-1) = -1 + 1 = 0$.

Геометрически это означает, что интеграл вычисляется за полный период функции синус. Площадь "положительной" полуволны на $[0, \pi]$ полностью компенсируется площадью "отрицательной" полуволны на $[\pi, 2\pi]$.

Ответ: 0