Номер 6.43, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.43, страница 184.

Условие.

6.43 Вычислите приближённо определённый интеграл при заданном $\Delta x$:

a) $\int_{-1}^{1} x dx, \Delta x = 0,2;$

б) $\int_{-1}^{1} x^3 dx, \Delta x = 0,2;$

в) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx, \Delta x = \frac{\pi}{20};$

г) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx, \Delta x = \frac{\pi}{20}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Требуется вычислить приближенное значение интеграла $ \int_{-1}^{1} x dx $ с шагом $ \Delta x = 0,2 $.

Для приближенного вычисления определенного интеграла воспользуемся методом трапеций. Формула метода трапеций для интеграла $ \int_{a}^{b} f(x) dx $ имеет вид:

$ \int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{\Delta x}{2} \left[f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n)\right] $

где $ [a, b] $ — отрезок интегрирования, $ \Delta x $ — шаг разбиения, $ n = \frac{b-a}{\Delta x} $ — количество отрезков разбиения, а $ x_i = a + i \cdot \Delta x $ — узлы сетки.

В данном случае, подынтегральная функция $ f(x) = x $, отрезок интегрирования $ [a, b] = [-1, 1] $, и шаг $ \Delta x = 0,2 $.

Найдем количество отрезков разбиения $ n $:$ n = \frac{1 - (-1)}{0,2} = \frac{2}{0,2} = 10 $.

Узлы сетки $ x_i $ ($ i = 0, 1, ..., 10 $): $ x_0 = -1, x_1 = -0,8, x_2 = -0,6, x_3 = -0,4, x_4 = -0,2, x_5 = 0, x_6 = 0,2, x_7 = 0,4, x_8 = 0,6, x_9 = 0,8, x_{10} = 1 $.

Приближенное значение интеграла равно:$ I \approx \frac{0,2}{2} [f(-1) + 2f(-0,8) + 2f(-0,6) + \dots + 2f(0,8) + f(1)] $$ I \approx 0,1 [-1 + 2(-0,8) + 2(-0,6) + 2(-0,4) + 2(-0,2) + 2(0) + 2(0,2) + 2(0,4) + 2(0,6) + 2(0,8) + 1] $

Поскольку подынтегральная функция $ f(x) = x $ является нечетной ($ f(-x) = -x = -f(x) $), а отрезок интегрирования $ [-1, 1] $ симметричен относительно нуля, то значения функции в симметричных точках противоположны по знаку: $ f(-c) = -f(c) $. Сумма в квадратных скобках упрощается:$ S = (f(-1) + f(1)) + 2(f(-0,8) + f(0,8)) + 2(f(-0,6) + f(0,6)) + 2(f(-0,4) + f(0,4)) + 2(f(-0,2) + f(0,2)) + 2f(0) $$ S = (-1+1) + 2(-0,8+0,8) + 2(-0,6+0,6) + 2(-0,4+0,4) + 2(-0,2+0,2) + 2(0) = 0 $.

Таким образом, приближенное значение интеграла:$ I \approx 0,1 \cdot 0 = 0 $.

Ответ: $0$

б)

Требуется вычислить приближенное значение интеграла $ \int_{-1}^{1} x^3 dx $ с шагом $ \Delta x = 0,2 $.

Используем метод трапеций. Подынтегральная функция $ f(x) = x^3 $, отрезок $ [a, b] = [-1, 1] $, шаг $ \Delta x = 0,2 $.

Количество отрезков разбиения $ n = \frac{1 - (-1)}{0,2} = 10 $. Узлы сетки такие же, как в пункте а).

Приближенное значение интеграла по формуле трапеций:$ I \approx \frac{0,2}{2} [f(-1) + 2\sum_{i=1}^{9} f(x_i) + f(1)] $

Функция $ f(x) = x^3 $ является нечетной ($ f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x) $), а отрезок интегрирования $ [-1, 1] $ симметричен. Как и в предыдущем пункте, это приводит к тому, что сумма значений функции в симметричных точках равна нулю.$ f(-1) + f(1) = (-1)^3 + 1^3 = -1 + 1 = 0 $.$ f(-0,8) + f(0,8) = (-0,8)^3 + 0,8^3 = -0,512 + 0,512 = 0 $.Аналогично, все остальные пары симметричных точек в сумме дают ноль. Средняя точка $ x_5 = 0 $, и $ f(0) = 0^3 = 0 $.Следовательно, вся сумма в формуле трапеций равна нулю.

Таким образом, приближенное значение интеграла:$ I \approx 0,1 \cdot 0 = 0 $.

Ответ: $0$

в)

Требуется вычислить приближенное значение интеграла $ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin x dx $ с шагом $ \Delta x = \frac{\pi}{20} $.

Используем метод трапеций. Подынтегральная функция $ f(x) = \sin x $, отрезок $ [a, b] = [-\pi/2, \pi/2] $, шаг $ \Delta x = \frac{\pi}{20} $.

Найдем количество отрезков разбиения $ n $:$ n = \frac{\pi/2 - (-\pi/2)}{\pi/20} = \frac{\pi}{\pi/20} = 20 $.

Узлы сетки: $ x_i = -\frac{\pi}{2} + i \cdot \frac{\pi}{20} $ для $ i = 0, 1, ..., 20 $.

Функция $ f(x) = \sin x $ является нечетной ($ \sin(-x) = -\sin x $), а отрезок интегрирования $ [-\pi/2, \pi/2] $ симметричен относительно нуля. Разбиение также симметрично: $ x_i = -x_{20-i} $. Например, $ x_1 = -9\pi/20 $ и $ x_{19} = 9\pi/20 $.

Сумма в формуле трапеций:$ S = f(-\pi/2) + 2\sum_{i=1}^{19} f(x_i) + f(\pi/2) $$ S = (\sin(-\pi/2) + \sin(\pi/2)) + 2\sum_{i=1}^{9} (\sin(x_i) + \sin(x_{20-i})) + 2\sin(x_{10}) $$ x_{10} = -\pi/2 + 10 \cdot \pi/20 = 0 $.$ S = (-1 + 1) + 2\sum_{i=1}^{9} (\sin(x_i) - \sin(x_i)) + 2\sin(0) = 0 + 2\sum_{i=1}^{9}(0) + 2(0) = 0 $.

Таким образом, приближенное значение интеграла:$ I \approx \frac{\pi/20}{2} \cdot 0 = 0 $.

Ответ: $0$

г)

Требуется вычислить приближенное значение интеграла $ \int_{0}^{\pi} \cos x dx $ с шагом $ \Delta x = \frac{\pi}{20} $.

Используем метод трапеций. Подынтегральная функция $ f(x) = \cos x $, отрезок $ [a, b] = [0, \pi] $, шаг $ \Delta x = \frac{\pi}{20} $.

Найдем количество отрезков разбиения $ n $:$ n = \frac{\pi - 0}{\pi/20} = 20 $.

Узлы сетки: $ x_i = i \cdot \frac{\pi}{20} $ для $ i = 0, 1, ..., 20 $.

Функция $ f(x) = \cos x $ обладает свойством симметрии относительно точки $ x=\pi/2 $: $ \cos(x) = -\cos(\pi-x) $. Наше разбиение симметрично относительно точки $ x_{10} = 10 \cdot \pi/20 = \pi/2 $, так как $ x_i + x_{20-i} = i\frac{\pi}{20} + (20-i)\frac{\pi}{20} = \pi $.Следовательно, $ f(x_i) + f(x_{20-i}) = \cos(x_i) + \cos(\pi - x_i) = \cos(x_i) - \cos(x_i) = 0 $.

Сумма в формуле трапеций:$ S = f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{19} f(x_i) + f(x_{20}) $$ S = (f(x_0) + f(x_{20})) + 2\sum_{i=1}^{9} (f(x_i) + f(x_{20-i})) + 2f(x_{10}) $$ f(x_0) + f(x_{20}) = \cos(0) + \cos(\pi) = 1 + (-1) = 0 $.Каждая пара $ f(x_i) + f(x_{20-i}) $ в сумме равна нулю.Средняя точка $ x_{10} = \pi/2 $, и $ f(x_{10}) = \cos(\pi/2) = 0 $.Таким образом, $ S = 0 + 2\cdot 0 + 2\cdot 0 = 0 $.

Приближенное значение интеграла:$ I \approx \frac{\pi/20}{2} \cdot 0 = 0 $.

Ответ: $0$