Номер 6.61, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.61, страница 191.
№6.61 (с. 191)
Условие. №6.61 (с. 191)
скриншот условия

6.61* В задании 6.60 определите путь $S$, пройденный точкой за промежуток времени $[0; t]$. Верно ли, что в каждом случае площадь закрашенной фигуры равна $S(t_2) - S(t_1)$?
Решение 1. №6.61 (с. 191)

Решение 4. №6.61 (с. 191)
Для решения задачи необходимо найти функцию пути $S(t)$ для каждого из четырех случаев, представленных в задании 6.60, а затем проанализировать утверждение о площади фигуры.
Путь $S$, пройденный точкой за промежуток времени от $0$ до $t$, определяется как интеграл от модуля скорости (скорости) по времени: $S(t) = \int_0^t |v(\tau)| d\tau$.
а)
В данном случае график скорости — это прямая $v(t) = 4$ м/с. Скорость постоянна и положительна.
Путь, пройденный точкой за время $t$:$S(t) = \int_0^t |4| d\tau = \int_0^t 4 d\tau = [4\tau]_0^t = 4t$.
Ответ: $S(t) = 4t$ (м).
б)
График скорости — прямая, проходящая через начало координат: $v(t) = 2t$ м/с. Скорость линейно возрастает и неотрицательна при $t \ge 0$.
Путь, пройденный точкой за время $t$:$S(t) = \int_0^t |2\tau| d\tau = \int_0^t 2\tau d\tau = [2 \frac{\tau^2}{2}]_0^t = t^2$.
Ответ: $S(t) = t^2$ (м).
в)
График скорости — прямая $v(t) = -3$ м/с. Скорость постоянна и отрицательна. Путь является интегралом от модуля скорости.
Путь, пройденный точкой за время $t$:$S(t) = \int_0^t |-3| d\tau = \int_0^t 3 d\tau = [3\tau]_0^t = 3t$.
Ответ: $S(t) = 3t$ (м).
г)
Движение описывается кусочно-линейной функцией скорости. На всем интервале $t \in [0; 7]$ скорость $v(t) \ge 0$, поэтому $|v(t)| = v(t)$.
1. На участке $0 \le t \le 2$ с: $v(t) = 2t$.
$S(t) = \int_0^t 2\tau d\tau = t^2$.К моменту $t=2$ с путь равен $S(2) = 2^2 = 4$ м.
2. На участке $2 < t \le 5$ с: $v(t) = 4$.
Путь $S(t)$ равен сумме пути, пройденного до $t=2$ с, и пути, пройденного с $2$ с до $t$:
$S(t) = S(2) + \int_2^t 4 d\tau = 4 + [4\tau]_2^t = 4 + (4t - 4 \cdot 2) = 4t - 4$.К моменту $t=5$ с путь равен $S(5) = 4 \cdot 5 - 4 = 16$ м.
3. На участке $5 < t \le 7$ с: $v(t) = -2t + 14$.
Путь $S(t)$ равен сумме пути, пройденного до $t=5$ с, и пути, пройденного с $5$ с до $t$:
$S(t) = S(5) + \int_5^t (-2\tau + 14) d\tau = 16 + [-\tau^2 + 14\tau]_5^t = 16 + (-t^2+14t) - (-5^2+14 \cdot 5) = 16 - t^2 + 14t - (-25+70) = 16 - t^2 + 14t - 45 = -t^2 + 14t - 29$.
Ответ: Зависимость пути от времени является кусочно-заданной функцией:$S(t) = \begin{cases} t^2, & \text{при } 0 \le t \le 2 \text{ с} \\ 4t - 4, & \text{при } 2 < t \le 5 \text{ с} \\ -t^2 + 14t - 29, & \text{при } 5 < t \le 7 \text{ с} \end{cases}$ (в метрах).
Анализ утверждения о площади фигуры
Рассмотрим вторую часть вопроса: "Верно ли, что в каждом случае площадь закрашенной фигуры равна $S(t_2) - S(t_1)$?".
Путь, пройденный точкой за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, по определению равен разности значений функции пути в конечный и начальный моменты времени: $S(t_2) - S(t_1)$. Также путь можно вычислить как интеграл от модуля скорости по времени:
Путь$_{t_1 \to t_2} = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$.
С другой стороны, "площадь закрашенной фигуры" на графике зависимости скорости от времени — это геометрическая площадь, заключенная между графиком $v(t)$ и осью времени на отрезке $[t_1, t_2]$. Эта площадь численно равна интегралу от модуля функции, то есть $A = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$.
Таким образом, обе части равенства, $S(t_2) - S(t_1)$ и "площадь закрашенной фигуры", представляют одну и ту же величину. Следовательно, утверждение является верным для всех четырех рассмотренных случаев.
Важно различать понятия пути и перемещения. Перемещение равно интегралу от проекции скорости ($\int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$) и совпадает с путем, только если скорость не меняет свой знак. Например, в случае в), где $v(t) < 0$, перемещение $\Delta x = -3(t_2-t_1)$ является отрицательным, в то время как путь $S(t_2)-S(t_1) = 3(t_2-t_1)$ и площадь фигуры $A = 3(t_2-t_1)$ — положительные величины. Вопрос задачи касается именно пути $S$, поэтому равенство выполняется.
Ответ: Да, утверждение верно. В каждом случае площадь фигуры, ограниченной графиком скорости и осью времени, численно равна пройденному точкой пути $S(t_2) - S(t_1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6.61 расположенного на странице 191 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.61 (с. 191), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.