Номер 6.33, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.33, страница 181.

Условие.

6.33 a) $\int_{2}^{4} (1-x) dx;$

б) $\int_{0}^{3} (2x+1) dx;$

в) $\int_{2}^{3} (3x-1) dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для вычисления определенного интеграла $ \int_{2}^{4} (1-x) dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ является первообразной для функции $ f(x) $.
1. Находим первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 1 - x $. Первообразная суммы/разности функций равна сумме/разности первообразных:
$ F(x) = \int (1 - x) dx = \int 1 dx - \int x dx = x - \frac{x^2}{2} $. (При вычислении определенного интеграла произвольную постоянную $ C $ можно опустить).
2. Подставляем пределы интегрирования в найденную первообразную:
$ \int_{2}^{4} (1-x) dx = \left. \left(x - \frac{x^2}{2}\right) \right|_{2}^{4} = F(4) - F(2) $.
3. Вычисляем значения первообразной на верхнем и нижнем пределах и находим их разность:
$ F(4) = 4 - \frac{4^2}{2} = 4 - \frac{16}{2} = 4 - 8 = -4 $.
$ F(2) = 2 - \frac{2^2}{2} = 2 - \frac{4}{2} = 2 - 2 = 0 $.
$ \int_{2}^{4} (1-x) dx = -4 - 0 = -4 $.
Ответ: -4.

б) Вычислим определенный интеграл $ \int_{0}^{3} (2x+1) dx $ с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
1. Находим первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 2x + 1 $:
$ F(x) = \int (2x + 1) dx = \int 2x dx + \int 1 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x = x^2 + x $.
2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница, подставляя пределы интегрирования $ 0 $ и $ 3 $:
$ \int_{0}^{3} (2x+1) dx = \left. (x^2 + x) \right|_{0}^{3} = F(3) - F(0) $.
3. Вычисляем значение выражения:
$ F(3) = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12 $.
$ F(0) = 0^2 + 0 = 0 $.
$ \int_{0}^{3} (2x+1) dx = 12 - 0 = 12 $.
Ответ: 12.

в) Вычислим определенный интеграл $ \int_{2}^{3} (3x-1) dx $ по формуле Ньютона-Лейбница.
1. Находим первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 3x - 1 $:
$ F(x) = \int (3x - 1) dx = \int 3x dx - \int 1 dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} - x = \frac{3x^2}{2} - x $.
2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $ 2 $ и $ 3 $:
$ \int_{2}^{3} (3x-1) dx = \left. \left(\frac{3x^2}{2} - x\right) \right|_{2}^{3} = F(3) - F(2) $.
3. Вычисляем значения и находим разность:
$ F(3) = \frac{3 \cdot 3^2}{2} - 3 = \frac{3 \cdot 9}{2} - 3 = \frac{27}{2} - \frac{6}{2} = \frac{21}{2} $.
$ F(2) = \frac{3 \cdot 2^2}{2} - 2 = \frac{3 \cdot 4}{2} - 2 = 6 - 2 = 4 $.
$ \int_{2}^{3} (3x-1) dx = \frac{21}{2} - 4 = \frac{21}{2} - \frac{8}{2} = \frac{13}{2} $.
Ответ: $ \frac{13}{2} $.