Номер 6.30, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.30, страница 178.
№6.30 (с. 178)
Условие. №6.30 (с. 178)
скриншот условия

6.30* Рассмотрим функцию $y = x^2$ на отрезке $[0; 1]$. Разделим отрезок $[0; 1]$ на $n$ равных частей и в качестве интегральной суммы возьмём
$S_n = f(0) \cdot \frac{1}{n} + f\left(\frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} + f\left(\frac{2}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} + \ldots + f\left(\frac{n-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} =$
$= \left(0^2 + \left(\frac{1}{n}\right)^2 + \left(\frac{2}{n}\right)^2 + \ldots + \left(\frac{n-1}{n}\right)^2\right) \cdot \frac{1}{n} = \frac{1^2 + 2^2 + \ldots + (n-1)^2}{n^3}$
a) Упростите формулу для вычисления $S_n$, пользуясь ранее доказанным равенством $1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$.
б) Существует ли предел интегральной суммы $S_n$ при $n \rightarrow +\infty$? Если да, то чему он равен?
в) Чему равна площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$, $y = 0$, $x = 1$?
Решение 1. №6.30 (с. 178)



Решение 2. №6.30 (с. 178)

Решение 4. №6.30 (с. 178)
a) Упростите формулу для вычисления $S_n$, пользуясь ранее доказанным равенством $1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Исходная формула для $S_n$ имеет вид:
$S_n = \frac{1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2}{n^3}$
Числитель этой дроби представляет собой сумму квадратов первых $n-1$ натуральных чисел. Для ее вычисления воспользуемся данной формулой, заменив в ней $n$ на $n-1$:
$1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2 = \frac{(n-1)((n-1)+1)(2(n-1)+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$
Подставим полученное выражение для суммы в формулу для $S_n$:
$S_n = \frac{\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}}{n^3} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}$
Сократим общий множитель $n$ в числителе и знаменателе:
$S_n = \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}$
Можно также раскрыть скобки в числителе:
$S_n = \frac{2n^2 - 2n - n + 1}{6n^2} = \frac{2n^2 - 3n + 1}{6n^2}$
Ответ: $S_n = \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}$ (или в раскрытом виде $S_n = \frac{2n^2 - 3n + 1}{6n^2}$).
б) Существует ли предел интегральной суммы $S_n$ при $n \to +\infty$? Если да, то чему он равен?
Для нахождения предела воспользуемся упрощенной формулой для $S_n$ из пункта а):
$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2 - 3n + 1}{6n^2}$
Так как степени многочленов в числителе и знаменателе равны 2, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях $n$:
$\lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Другой способ — разделить числитель и знаменатель на $n^2$ (наивысшую степень $n$):
$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2n^2}{n^2} - \frac{3n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}{\frac{6n^2}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{6}$
При $n \to +\infty$ значения $\frac{3}{n}$ и $\frac{1}{n^2}$ стремятся к нулю. Таким образом, предел равен:
$\frac{2 - 0 + 0}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Следовательно, предел существует.
Ответ: Да, предел существует и равен $\frac{1}{3}$.
в) Чему равна площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$, $y = 0$, $x = 1$?
Площадь указанной криволинейной трапеции определяется как определенный интеграл от функции $y=x^2$ на отрезке $[0; 1]$:
$A = \int_{0}^{1} x^2 dx$
По определению, определенный интеграл равен пределу интегральных сумм (сумм Римана) при стремлении числа разбиений $n$ к бесконечности. Сумма $S_n$, данная в условии, как раз и является такой интегральной суммой для функции $y = x^2$ на отрезке $[0; 1]$. Таким образом, искомая площадь равна пределу $S_n$, который мы вычислили в пункте б).
$A = \lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{1}{3}$
Проверим результат прямым интегрированием по формуле Ньютона-Лейбница:
$A = \int_{0}^{1} x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$
Ответ: Площадь фигуры равна $\frac{1}{3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6.30 расположенного на странице 178 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.30 (с. 178), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.