Номер 6.30, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.30, страница 178.

Условие.

6.30* Рассмотрим функцию $y = x^2$ на отрезке $[0; 1]$. Разделим отрезок $[0; 1]$ на $n$ равных частей и в качестве интегральной суммы возьмём

$S_n = f(0) \cdot \frac{1}{n} + f\left(\frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} + f\left(\frac{2}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} + \ldots + f\left(\frac{n-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} =$

$= \left(0^2 + \left(\frac{1}{n}\right)^2 + \left(\frac{2}{n}\right)^2 + \ldots + \left(\frac{n-1}{n}\right)^2\right) \cdot \frac{1}{n} = \frac{1^2 + 2^2 + \ldots + (n-1)^2}{n^3}$

a) Упростите формулу для вычисления $S_n$, пользуясь ранее доказанным равенством $1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$.

б) Существует ли предел интегральной суммы $S_n$ при $n \rightarrow +\infty$? Если да, то чему он равен?

в) Чему равна площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$, $y = 0$, $x = 1$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) Упростите формулу для вычисления $S_n$, пользуясь ранее доказанным равенством $1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Исходная формула для $S_n$ имеет вид:

$S_n = \frac{1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2}{n^3}$

Числитель этой дроби представляет собой сумму квадратов первых $n-1$ натуральных чисел. Для ее вычисления воспользуемся данной формулой, заменив в ней $n$ на $n-1$:

$1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2 = \frac{(n-1)((n-1)+1)(2(n-1)+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

Подставим полученное выражение для суммы в формулу для $S_n$:

$S_n = \frac{\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}}{n^3} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}$

Сократим общий множитель $n$ в числителе и знаменателе:

$S_n = \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}$

Можно также раскрыть скобки в числителе:

$S_n = \frac{2n^2 - 2n - n + 1}{6n^2} = \frac{2n^2 - 3n + 1}{6n^2}$

Ответ: $S_n = \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}$ (или в раскрытом виде $S_n = \frac{2n^2 - 3n + 1}{6n^2}$).

б) Существует ли предел интегральной суммы $S_n$ при $n \to +\infty$? Если да, то чему он равен?

Для нахождения предела воспользуемся упрощенной формулой для $S_n$ из пункта а):

$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2 - 3n + 1}{6n^2}$

Так как степени многочленов в числителе и знаменателе равны 2, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях $n$:

$\lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Другой способ — разделить числитель и знаменатель на $n^2$ (наивысшую степень $n$):

$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2n^2}{n^2} - \frac{3n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}{\frac{6n^2}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{6}$

При $n \to +\infty$ значения $\frac{3}{n}$ и $\frac{1}{n^2}$ стремятся к нулю. Таким образом, предел равен:

$\frac{2 - 0 + 0}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Следовательно, предел существует.

Ответ: Да, предел существует и равен $\frac{1}{3}$.

в) Чему равна площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$, $y = 0$, $x = 1$?

Площадь указанной криволинейной трапеции определяется как определенный интеграл от функции $y=x^2$ на отрезке $[0; 1]$:

$A = \int_{0}^{1} x^2 dx$

По определению, определенный интеграл равен пределу интегральных сумм (сумм Римана) при стремлении числа разбиений $n$ к бесконечности. Сумма $S_n$, данная в условии, как раз и является такой интегральной суммой для функции $y = x^2$ на отрезке $[0; 1]$. Таким образом, искомая площадь равна пределу $S_n$, который мы вычислили в пункте б).

$A = \lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{1}{3}$

Проверим результат прямым интегрированием по формуле Ньютона-Лейбница:

$A = \int_{0}^{1} x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: Площадь фигуры равна $\frac{1}{3}$.