Номер 6.24, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.24, страница 175.

Условие.

Найдите неопределённый интеграл, используя интегрирование по частям (6.24–6.25):

6.24* a) $\int x \cos x dx;$

б) $\int \frac{x dx}{\cos^2 x};$

в) $\int \frac{x dx}{\sin^2 x};$

г) $\int x \sqrt{x - 7} dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) Для нахождения интеграла $\int x \cos x \, dx$ применяется формула интегрирования по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
Выберем $u$ и $dv$ следующим образом:

• Пусть $u = x$. Тогда $du = (x)' \, dx = dx$.
• Пусть $dv = \cos x \, dx$. Тогда $v = \int \cos x \, dx = \sin x$.

Теперь подставим эти выражения в формулу интегрирования по частям:
$\int x \cos x \, dx = x \cdot \sin x - \int \sin x \, dx$
Вычислим оставшийся интеграл:
$\int \sin x \, dx = -\cos x$.
Собрав все вместе, получаем:
$x \sin x - (-\cos x) + C = x \sin x + \cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $x \sin x + \cos x + C$.

б) Для вычисления интеграла $\int \frac{x}{\cos^2 x} \, dx$ используем интегрирование по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
Выберем $u$ и $dv$:

• Пусть $u = x$. Тогда $du = dx$.
• Пусть $dv = \frac{1}{\cos^2 x} \, dx$. Тогда $v = \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x$.

Применяем формулу:
$\int \frac{x}{\cos^2 x} \, dx = x \tan x - \int \tan x \, dx$.
Интеграл от тангенса равен:
$\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = -\int \frac{d(\cos x)}{\cos x} = -\ln|\cos x|$.
Таким образом, окончательный результат:
$x \tan x - (-\ln|\cos x|) + C = x \tan x + \ln|\cos x| + C$.
Ответ: $x \tan x + \ln|\cos x| + C$.

в) Для вычисления интеграла $\int \frac{x}{\sin^2 x} \, dx$ снова применяем интегрирование по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
Выберем $u$ и $dv$:

• Пусть $u = x$. Тогда $du = dx$.
• Пусть $dv = \frac{1}{\sin^2 x} \, dx$. Тогда $v = \int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\cot x$.

Применяем формулу:
$\int \frac{x}{\sin^2 x} \, dx = x(-\cot x) - \int (-\cot x) \, dx = -x \cot x + \int \cot x \, dx$.
Интеграл от котангенса равен:
$\int \cot x \, dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx = \int \frac{d(\sin x)}{\sin x} = \ln|\sin x|$.
Окончательный результат:
$-x \cot x + \ln|\sin x| + C$.
Ответ: $-x \cot x + \ln|\sin x| + C$.

г) Для вычисления интеграла $\int x \sqrt{x-7} \, dx$ используем метод интегрирования по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
Выберем $u$ и $dv$:

• Пусть $u = x$. Тогда $du = dx$.
• Пусть $dv = \sqrt{x-7} \, dx = (x-7)^{1/2} \, dx$. Тогда $v = \int (x-7)^{1/2} \, dx = \frac{(x-7)^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}(x-7)^{3/2}$.

Подставляем в формулу:
$\int x \sqrt{x-7} \, dx = x \cdot \frac{2}{3}(x-7)^{3/2} - \int \frac{2}{3}(x-7)^{3/2} \, dx$.
Вычислим оставшийся интеграл:
$\int \frac{2}{3}(x-7)^{3/2} \, dx = \frac{2}{3} \int (x-7)^{3/2} \, dx = \frac{2}{3} \cdot \frac{(x-7)^{5/2}}{5/2} + C_1 = \frac{4}{15}(x-7)^{5/2} + C_1$.
Соберем все вместе:
$\frac{2x}{3}(x-7)^{3/2} - \frac{4}{15}(x-7)^{5/2} + C$.
Для упрощения результата вынесем общий множитель $\frac{2}{15}(x-7)^{3/2}$ за скобки:
$\frac{2}{15}(x-7)^{3/2} \left[ 5x - 2(x-7) \right] + C = \frac{2}{15}(x-7)^{3/2} (5x - 2x + 14) + C = \frac{2}{15}(x-7)^{3/2}(3x+14) + C$.
Ответ: $\frac{2}{15}(3x+14)(x-7)^{3/2} + C$.