Номер 6.24, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.24, страница 175.

№6.24 (с. 175)
Условие. №6.24 (с. 175)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 175, номер 6.24, Условие

Найдите неопределённый интеграл, используя интегрирование по частям (6.24–6.25):

6.24* a) $\int x \cos x dx;$

б) $\int \frac{x dx}{\cos^2 x};$

в) $\int \frac{x dx}{\sin^2 x};$

г) $\int x \sqrt{x - 7} dx.$

Решение 1. №6.24 (с. 175)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 175, номер 6.24, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 175, номер 6.24, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 175, номер 6.24, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 175, номер 6.24, Решение 1 (продолжение 4)
Решение 2. №6.24 (с. 175)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 175, номер 6.24, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 175, номер 6.24, Решение 2 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 175, номер 6.24, Решение 2 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 175, номер 6.24, Решение 2 (продолжение 4)
Решение 3. №6.24 (с. 175)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 175, номер 6.24, Решение 3 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 175, номер 6.24, Решение 3 (продолжение 2)
Решение 4. №6.24 (с. 175)

a) Для нахождения интеграла $\int x \cos x \, dx$ применяется формула интегрирования по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
Выберем $u$ и $dv$ следующим образом:

  • Пусть $u = x$. Тогда $du = (x)' \, dx = dx$.
  • Пусть $dv = \cos x \, dx$. Тогда $v = \int \cos x \, dx = \sin x$.

Теперь подставим эти выражения в формулу интегрирования по частям:
$\int x \cos x \, dx = x \cdot \sin x - \int \sin x \, dx$
Вычислим оставшийся интеграл:
$\int \sin x \, dx = -\cos x$.
Собрав все вместе, получаем:
$x \sin x - (-\cos x) + C = x \sin x + \cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $x \sin x + \cos x + C$.

б) Для вычисления интеграла $\int \frac{x}{\cos^2 x} \, dx$ используем интегрирование по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
Выберем $u$ и $dv$:

  • Пусть $u = x$. Тогда $du = dx$.
  • Пусть $dv = \frac{1}{\cos^2 x} \, dx$. Тогда $v = \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x$.

Применяем формулу:
$\int \frac{x}{\cos^2 x} \, dx = x \tan x - \int \tan x \, dx$.
Интеграл от тангенса равен:
$\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = -\int \frac{d(\cos x)}{\cos x} = -\ln|\cos x|$.
Таким образом, окончательный результат:
$x \tan x - (-\ln|\cos x|) + C = x \tan x + \ln|\cos x| + C$.
Ответ: $x \tan x + \ln|\cos x| + C$.

в) Для вычисления интеграла $\int \frac{x}{\sin^2 x} \, dx$ снова применяем интегрирование по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
Выберем $u$ и $dv$:

  • Пусть $u = x$. Тогда $du = dx$.
  • Пусть $dv = \frac{1}{\sin^2 x} \, dx$. Тогда $v = \int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\cot x$.

Применяем формулу:
$\int \frac{x}{\sin^2 x} \, dx = x(-\cot x) - \int (-\cot x) \, dx = -x \cot x + \int \cot x \, dx$.
Интеграл от котангенса равен:
$\int \cot x \, dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx = \int \frac{d(\sin x)}{\sin x} = \ln|\sin x|$.
Окончательный результат:
$-x \cot x + \ln|\sin x| + C$.
Ответ: $-x \cot x + \ln|\sin x| + C$.

г) Для вычисления интеграла $\int x \sqrt{x-7} \, dx$ используем метод интегрирования по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
Выберем $u$ и $dv$:

  • Пусть $u = x$. Тогда $du = dx$.
  • Пусть $dv = \sqrt{x-7} \, dx = (x-7)^{1/2} \, dx$. Тогда $v = \int (x-7)^{1/2} \, dx = \frac{(x-7)^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}(x-7)^{3/2}$.

Подставляем в формулу:
$\int x \sqrt{x-7} \, dx = x \cdot \frac{2}{3}(x-7)^{3/2} - \int \frac{2}{3}(x-7)^{3/2} \, dx$.
Вычислим оставшийся интеграл:
$\int \frac{2}{3}(x-7)^{3/2} \, dx = \frac{2}{3} \int (x-7)^{3/2} \, dx = \frac{2}{3} \cdot \frac{(x-7)^{5/2}}{5/2} + C_1 = \frac{4}{15}(x-7)^{5/2} + C_1$.
Соберем все вместе:
$\frac{2x}{3}(x-7)^{3/2} - \frac{4}{15}(x-7)^{5/2} + C$.
Для упрощения результата вынесем общий множитель $\frac{2}{15}(x-7)^{3/2}$ за скобки:
$\frac{2}{15}(x-7)^{3/2} \left[ 5x - 2(x-7) \right] + C = \frac{2}{15}(x-7)^{3/2} (5x - 2x + 14) + C = \frac{2}{15}(x-7)^{3/2}(3x+14) + C$.
Ответ: $\frac{2}{15}(3x+14)(x-7)^{3/2} + C$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6.24 расположенного на странице 175 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.24 (с. 175), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.