Номер 6.20, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.20, страница 175.
№6.20 (с. 175)
Условие. №6.20 (с. 175)
скриншот условия

6.20 а) $\int \frac{x dx}{\sqrt{4 - x^2}}$;
б) $\int \frac{3x dx}{\sqrt{25 - x^2}}$;
в) $\int \frac{2x dx}{\sqrt{9 - 4x^2}}$;
г) $\int \frac{5x dx}{\sqrt{4 - 9x^2}}$.
Решение 1. №6.20 (с. 175)




Решение 2. №6.20 (с. 175)


Решение 3. №6.20 (с. 175)

Решение 4. №6.20 (с. 175)
а) Для вычисления интеграла $\int \frac{xdx}{\sqrt{4 - x^2}}$ воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = 4 - x^2$. Тогда дифференциал $dt = (4 - x^2)'dx = -2xdx$. Из этого выражения выразим $xdx = -\frac{1}{2}dt$.
Подставим новую переменную в исходный интеграл:
$\int \frac{xdx}{\sqrt{4 - x^2}} = \int \frac{-\frac{1}{2}dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2}dt$.
Вычислим полученный интеграл по формуле для степенной функции $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$:
$-\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -t^{1/2} + C = -\sqrt{t} + C$.
Сделаем обратную замену, подставив $t = 4 - x^2$, чтобы получить окончательный результат:
$-\sqrt{4 - x^2} + C$.
Ответ: $-\sqrt{4 - x^2} + C$.
б) Рассмотрим интеграл $\int \frac{3xdx}{\sqrt{25 - x^2}}$. Вынесем константу 3 за знак интеграла: $3 \int \frac{xdx}{\sqrt{25 - x^2}}$.
Применим метод замены переменной. Пусть $t = 25 - x^2$, тогда $dt = -2xdx$, и отсюда $xdx = -\frac{1}{2}dt$.
Подставляем в интеграл:
$3 \int \frac{-\frac{1}{2}dt}{\sqrt{t}} = -\frac{3}{2} \int t^{-1/2}dt$.
Интегрируем:
$-\frac{3}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{3}{2} \cdot 2t^{1/2} + C = -3\sqrt{t} + C$.
Производим обратную замену $t = 25 - x^2$:
$-3\sqrt{25 - x^2} + C$.
Ответ: $-3\sqrt{25 - x^2} + C$.
в) Вычислим интеграл $\int \frac{2xdx}{\sqrt{9 - 4x^2}}$. Здесь также удобно использовать замену переменной. Пусть $t = 9 - 4x^2$.
Найдем дифференциал $dt = (9 - 4x^2)'dx = -8xdx$. В числителе подынтегрального выражения у нас стоит $2xdx$. Выразим его через $dt$: $2xdx = \frac{2}{-8}(-8xdx) = -\frac{1}{4}dt$.
Подставим в интеграл:
$\int \frac{-\frac{1}{4}dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{4} \int t^{-1/2}dt$.
Вычисляем интеграл:
$-\frac{1}{4} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{1}{4} \cdot 2t^{1/2} + C = -\frac{1}{2}\sqrt{t} + C$.
Возвращаемся к исходной переменной, подставляя $t = 9 - 4x^2$:
$-\frac{1}{2}\sqrt{9 - 4x^2} + C$.
Ответ: $-\frac{1}{2}\sqrt{9 - 4x^2} + C$.
г) Найдем интеграл $\int \frac{5xdx}{\sqrt{4 - 9x^2}}$. Сначала вынесем константу 5 за знак интеграла: $5 \int \frac{xdx}{\sqrt{4 - 9x^2}}$.
Сделаем замену переменной: $t = 4 - 9x^2$. Тогда $dt = -18xdx$, откуда $xdx = -\frac{1}{18}dt$.
Подставляем в интеграл:
$5 \int \frac{-\frac{1}{18}dt}{\sqrt{t}} = -\frac{5}{18} \int t^{-1/2}dt$.
Интегрируем по степенной формуле:
$-\frac{5}{18} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{5}{18} \cdot 2t^{1/2} + C = -\frac{10}{18}\sqrt{t} + C = -\frac{5}{9}\sqrt{t} + C$.
Делаем обратную замену $t = 4 - 9x^2$:
$-\frac{5}{9}\sqrt{4 - 9x^2} + C$.
Ответ: $-\frac{5}{9}\sqrt{4 - 9x^2} + C$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6.20 расположенного на странице 175 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.20 (с. 175), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.