Номер 6.20, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.20, страница 175.

№6.20 (с. 175)
Условие. №6.20 (с. 175)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 175, номер 6.20, Условие

6.20 а) $\int \frac{x dx}{\sqrt{4 - x^2}}$;

б) $\int \frac{3x dx}{\sqrt{25 - x^2}}$;

в) $\int \frac{2x dx}{\sqrt{9 - 4x^2}}$;

г) $\int \frac{5x dx}{\sqrt{4 - 9x^2}}$.

Решение 1. №6.20 (с. 175)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 175, номер 6.20, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 175, номер 6.20, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 175, номер 6.20, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 175, номер 6.20, Решение 1 (продолжение 4)
Решение 2. №6.20 (с. 175)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 175, номер 6.20, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 175, номер 6.20, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №6.20 (с. 175)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 175, номер 6.20, Решение 3
Решение 4. №6.20 (с. 175)

а) Для вычисления интеграла $\int \frac{xdx}{\sqrt{4 - x^2}}$ воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = 4 - x^2$. Тогда дифференциал $dt = (4 - x^2)'dx = -2xdx$. Из этого выражения выразим $xdx = -\frac{1}{2}dt$.

Подставим новую переменную в исходный интеграл:

$\int \frac{xdx}{\sqrt{4 - x^2}} = \int \frac{-\frac{1}{2}dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2}dt$.

Вычислим полученный интеграл по формуле для степенной функции $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$:

$-\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -t^{1/2} + C = -\sqrt{t} + C$.

Сделаем обратную замену, подставив $t = 4 - x^2$, чтобы получить окончательный результат:

$-\sqrt{4 - x^2} + C$.

Ответ: $-\sqrt{4 - x^2} + C$.

б) Рассмотрим интеграл $\int \frac{3xdx}{\sqrt{25 - x^2}}$. Вынесем константу 3 за знак интеграла: $3 \int \frac{xdx}{\sqrt{25 - x^2}}$.

Применим метод замены переменной. Пусть $t = 25 - x^2$, тогда $dt = -2xdx$, и отсюда $xdx = -\frac{1}{2}dt$.

Подставляем в интеграл:

$3 \int \frac{-\frac{1}{2}dt}{\sqrt{t}} = -\frac{3}{2} \int t^{-1/2}dt$.

Интегрируем:

$-\frac{3}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{3}{2} \cdot 2t^{1/2} + C = -3\sqrt{t} + C$.

Производим обратную замену $t = 25 - x^2$:

$-3\sqrt{25 - x^2} + C$.

Ответ: $-3\sqrt{25 - x^2} + C$.

в) Вычислим интеграл $\int \frac{2xdx}{\sqrt{9 - 4x^2}}$. Здесь также удобно использовать замену переменной. Пусть $t = 9 - 4x^2$.

Найдем дифференциал $dt = (9 - 4x^2)'dx = -8xdx$. В числителе подынтегрального выражения у нас стоит $2xdx$. Выразим его через $dt$: $2xdx = \frac{2}{-8}(-8xdx) = -\frac{1}{4}dt$.

Подставим в интеграл:

$\int \frac{-\frac{1}{4}dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{4} \int t^{-1/2}dt$.

Вычисляем интеграл:

$-\frac{1}{4} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{1}{4} \cdot 2t^{1/2} + C = -\frac{1}{2}\sqrt{t} + C$.

Возвращаемся к исходной переменной, подставляя $t = 9 - 4x^2$:

$-\frac{1}{2}\sqrt{9 - 4x^2} + C$.

Ответ: $-\frac{1}{2}\sqrt{9 - 4x^2} + C$.

г) Найдем интеграл $\int \frac{5xdx}{\sqrt{4 - 9x^2}}$. Сначала вынесем константу 5 за знак интеграла: $5 \int \frac{xdx}{\sqrt{4 - 9x^2}}$.

Сделаем замену переменной: $t = 4 - 9x^2$. Тогда $dt = -18xdx$, откуда $xdx = -\frac{1}{18}dt$.

Подставляем в интеграл:

$5 \int \frac{-\frac{1}{18}dt}{\sqrt{t}} = -\frac{5}{18} \int t^{-1/2}dt$.

Интегрируем по степенной формуле:

$-\frac{5}{18} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{5}{18} \cdot 2t^{1/2} + C = -\frac{10}{18}\sqrt{t} + C = -\frac{5}{9}\sqrt{t} + C$.

Делаем обратную замену $t = 4 - 9x^2$:

$-\frac{5}{9}\sqrt{4 - 9x^2} + C$.

Ответ: $-\frac{5}{9}\sqrt{4 - 9x^2} + C$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6.20 расположенного на странице 175 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.20 (с. 175), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.