Номер 6.20, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.20, страница 175.

Условие.

6.20 а) $\int \frac{x dx}{\sqrt{4 - x^2}}$;

б) $\int \frac{3x dx}{\sqrt{25 - x^2}}$;

в) $\int \frac{2x dx}{\sqrt{9 - 4x^2}}$;

г) $\int \frac{5x dx}{\sqrt{4 - 9x^2}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для вычисления интеграла $\int \frac{xdx}{\sqrt{4 - x^2}}$ воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = 4 - x^2$. Тогда дифференциал $dt = (4 - x^2)'dx = -2xdx$. Из этого выражения выразим $xdx = -\frac{1}{2}dt$.

Подставим новую переменную в исходный интеграл:

$\int \frac{xdx}{\sqrt{4 - x^2}} = \int \frac{-\frac{1}{2}dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2}dt$.

Вычислим полученный интеграл по формуле для степенной функции $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$:

$-\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -t^{1/2} + C = -\sqrt{t} + C$.

Сделаем обратную замену, подставив $t = 4 - x^2$, чтобы получить окончательный результат:

$-\sqrt{4 - x^2} + C$.

Ответ: $-\sqrt{4 - x^2} + C$.

б) Рассмотрим интеграл $\int \frac{3xdx}{\sqrt{25 - x^2}}$. Вынесем константу 3 за знак интеграла: $3 \int \frac{xdx}{\sqrt{25 - x^2}}$.

Применим метод замены переменной. Пусть $t = 25 - x^2$, тогда $dt = -2xdx$, и отсюда $xdx = -\frac{1}{2}dt$.

Подставляем в интеграл:

$3 \int \frac{-\frac{1}{2}dt}{\sqrt{t}} = -\frac{3}{2} \int t^{-1/2}dt$.

Интегрируем:

$-\frac{3}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{3}{2} \cdot 2t^{1/2} + C = -3\sqrt{t} + C$.

Производим обратную замену $t = 25 - x^2$:

$-3\sqrt{25 - x^2} + C$.

Ответ: $-3\sqrt{25 - x^2} + C$.

в) Вычислим интеграл $\int \frac{2xdx}{\sqrt{9 - 4x^2}}$. Здесь также удобно использовать замену переменной. Пусть $t = 9 - 4x^2$.

Найдем дифференциал $dt = (9 - 4x^2)'dx = -8xdx$. В числителе подынтегрального выражения у нас стоит $2xdx$. Выразим его через $dt$: $2xdx = \frac{2}{-8}(-8xdx) = -\frac{1}{4}dt$.

Подставим в интеграл:

$\int \frac{-\frac{1}{4}dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{4} \int t^{-1/2}dt$.

Вычисляем интеграл:

$-\frac{1}{4} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{1}{4} \cdot 2t^{1/2} + C = -\frac{1}{2}\sqrt{t} + C$.

Возвращаемся к исходной переменной, подставляя $t = 9 - 4x^2$:

$-\frac{1}{2}\sqrt{9 - 4x^2} + C$.

Ответ: $-\frac{1}{2}\sqrt{9 - 4x^2} + C$.

г) Найдем интеграл $\int \frac{5xdx}{\sqrt{4 - 9x^2}}$. Сначала вынесем константу 5 за знак интеграла: $5 \int \frac{xdx}{\sqrt{4 - 9x^2}}$.

Сделаем замену переменной: $t = 4 - 9x^2$. Тогда $dt = -18xdx$, откуда $xdx = -\frac{1}{18}dt$.

Подставляем в интеграл:

$5 \int \frac{-\frac{1}{18}dt}{\sqrt{t}} = -\frac{5}{18} \int t^{-1/2}dt$.

Интегрируем по степенной формуле:

$-\frac{5}{18} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{5}{18} \cdot 2t^{1/2} + C = -\frac{10}{18}\sqrt{t} + C = -\frac{5}{9}\sqrt{t} + C$.

Делаем обратную замену $t = 4 - 9x^2$:

$-\frac{5}{9}\sqrt{4 - 9x^2} + C$.

Ответ: $-\frac{5}{9}\sqrt{4 - 9x^2} + C$.