Номер 6.25, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.25, страница 175.

Условие.

6.25* a) $\int x^2 e^x dx;$

б) $\int x^2 \sin x dx;$

в) $\int x^2 \cos x dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения всех трех интегралов используется метод интегрирования по частям, формула которого: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Этот метод применяется дважды для каждого интеграла.

а) $\int x^2e^x dx$

Применим интегрирование по частям. Выберем $u = x^2$ и $dv = e^x dx$.
Тогда $du = (x^2)' dx = 2x \, dx$, а $v = \int e^x dx = e^x$.
Подставляем в формулу:

$\int x^2e^x dx = x^2 \cdot e^x - \int e^x \cdot 2x \, dx = x^2e^x - 2\int xe^x dx$.

К получившемуся интегралу $\int xe^x dx$ снова применим метод интегрирования по частям. Выберем $u = x$ и $dv = e^x dx$.
Тогда $du = (x)' dx = dx$, а $v = \int e^x dx = e^x$.
Получаем:

$\int xe^x dx = x \cdot e^x - \int e^x dx = xe^x - e^x$.

Теперь подставим результат обратно в исходное выражение:

$\int x^2e^x dx = x^2e^x - 2(xe^x - e^x) + C = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C$.

Вынося общий множитель $e^x$ за скобки, получаем окончательный ответ.

Ответ: $e^x(x^2 - 2x + 2) + C$.

б) $\int x^2 \sin x \, dx$

Применим интегрирование по частям. Выберем $u = x^2$ и $dv = \sin x \, dx$.
Тогда $du = 2x \, dx$, а $v = \int \sin x \, dx = -\cos x$.
Подставляем в формулу:

$\int x^2 \sin x \, dx = x^2(-\cos x) - \int (-\cos x) \cdot 2x \, dx = -x^2\cos x + 2\int x \cos x \, dx$.

К интегралу $\int x \cos x \, dx$ снова применим метод интегрирования по частям. Выберем $u = x$ и $dv = \cos x \, dx$.
Тогда $du = dx$, а $v = \int \cos x \, dx = \sin x$.
Получаем:

$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x - (-\cos x) = x \sin x + \cos x$.

Подставим результат в наше выражение:

$\int x^2 \sin x \, dx = -x^2\cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C = -x^2\cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C$.

Сгруппировав слагаемые, можно записать ответ в виде $(2-x^2)\cos x + 2x \sin x + C$.

Ответ: $-x^2\cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C$.

в) $\int x^2 \cos x \, dx$

Применим интегрирование по частям. Выберем $u = x^2$ и $dv = \cos x \, dx$.
Тогда $du = 2x \, dx$, а $v = \int \cos x \, dx = \sin x$.
Подставляем в формулу:

$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - \int \sin x \cdot 2x \, dx = x^2\sin x - 2\int x \sin x \, dx$.

К интегралу $\int x \sin x \, dx$ снова применим метод интегрирования по частям. Выберем $u = x$ и $dv = \sin x \, dx$.
Тогда $du = dx$, а $v = \int \sin x \, dx = -\cos x$.
Получаем:

$\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx = -x\cos x + \int \cos x \, dx = -x\cos x + \sin x$.

Подставим результат в наше выражение:

$\int x^2 \cos x \, dx = x^2\sin x - 2(-x\cos x + \sin x) + C = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$.

Сгруппировав слагаемые, можно записать ответ в виде $(x^2-2)\sin x + 2x\cos x + C$.

Ответ: $x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$.