Номер 6.27, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.27, страница 177.

Условие.

6.27 Рассмотрим функцию $y = x$ на отрезке $[0; 1]$. Разделим отрезок $[0; 1]$ на $n$ равных частей и в качестве интегральной суммы возьмём

$S_n = f(0) \cdot \frac{1}{n} + f(\frac{1}{n}) \cdot \frac{1}{n} + f(\frac{2}{n}) \cdot \frac{1}{n} + \dots + f(\frac{n-1}{n}) \cdot \frac{1}{n} = $

$= \left(0 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n} + \dots + \frac{n-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}$

n слагаемых

а) Вычислите интегральную сумму: $S_1$; $S_2$; $S_3$; $S_4$ (рис. 145).

Рис. 145

б) Упростите формулу для вычисления $S_n$.

в) Имеет ли последовательность интегральных сумм $S_1$, $S_2$, $S_3$, ..., $S_n$ ... предел при $n \rightarrow +\infty$? Если имеет, то чему он равен?

г) Чему равна площадь фигуры, ограниченной прямыми $y=x$, $y=0$, $x=1$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Вычислим интегральные суммы $S_1, S_2, S_3, S_4$ по общей формуле, представленной в условии: $S_n = \left(f(0) + f\left(\frac{1}{n}\right) + \dots + f\left(\frac{n-1}{n}\right)\right) \cdot \frac{1}{n}$. Для функции $f(x)=x$ это выражение принимает вид $S_n = \left(0 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \dots + \frac{n-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}$.

• При $n=1$, отрезок $[0, 1]$ не делится. Интегральная сумма имеет одно слагаемое, соответствующее левой границе $x=0$.
  $S_1 = f(0) \cdot \frac{1}{1} = 0 \cdot 1 = 0$.

• При $n=2$, отрезок делится на два: $[0, 1/2]$ и $[1/2, 1]$. Левые границы: $0$ и $1/2$.
  $S_2 = \left(f(0) + f\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} = \left(0 + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

• При $n=3$, отрезок делится на три части. Левые границы: $0, 1/3, 2/3$.
  $S_3 = \left(f(0) + f\left(\frac{1}{3}\right) + f\left(\frac{2}{3}\right)\right) \cdot \frac{1}{3} = \left(0 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{3} \cdot \frac{1}{3} = 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.

• При $n=4$, отрезок делится на четыре части. Левые границы: $0, 1/4, 2/4, 3/4$.
  $S_4 = \left(f(0) + f\left(\frac{1}{4}\right) + f\left(\frac{2}{4}\right) + f\left(\frac{3}{4}\right)\right) \cdot \frac{1}{4} = \left(0 + \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4}\right) \cdot \frac{1}{4} = \frac{1+2+3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{6}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $S_1 = 0$; $S_2 = \frac{1}{4}$; $S_3 = \frac{1}{3}$; $S_4 = \frac{3}{8}$.

б) Упростим формулу для вычисления $S_n$.
$S_n = \left(0 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \dots + \frac{n-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}$
Вынесем общий знаменатель $n$ из скобок:
$S_n = \frac{0 + 1 + 2 + \dots + (n-1)}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1 + 2 + \dots + (n-1)}{n^2}$
Сумма в числителе — это сумма первых $n-1$ натуральных чисел, которая является арифметической прогрессией. Её сумма вычисляется по формуле $S_k = \frac{k(k+1)}{2}$. Для $k = n-1$ получаем:
$1 + 2 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)((n-1)+1)}{2} = \frac{(n-1)n}{2}$
Подставим это выражение в формулу для $S_n$:
$S_n = \frac{\frac{(n-1)n}{2}}{n^2} = \frac{(n-1)n}{2n^2} = \frac{n-1}{2n}$

Ответ: $S_n = \frac{n-1}{2n}$.

в) Найдем предел последовательности интегральных сумм $S_n$ при $n \to +\infty$, используя упрощенную формулу из пункта б).

$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{n-1}{2n}$
Для вычисления предела разделим числитель и знаменатель на $n$ (старшую степень переменной):
$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n}{n} - \frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 - \frac{1}{n}}{2}$
Так как при $n \to +\infty$, выражение $\frac{1}{n}$ стремится к 0, то предел равен:
$\frac{1 - 0}{2} = \frac{1}{2}$

Ответ: Да, последовательность имеет предел, равный $\frac{1}{2}$.

г) Фигура, ограниченная прямыми $y=x$, $y=0$ (ось абсцисс) и $x=1$, является прямоугольным треугольником. Вершины этого треугольника находятся в точках $(0, 0)$, $(1, 0)$ и $(1, 1)$.

Катеты треугольника лежат на оси $Ox$ и прямой $x=1$. Длина катета, лежащего на оси $Ox$ (основание), равна $1-0=1$. Длина катета, лежащего на прямой $x=1$ (высота), равна значению функции $y=x$ в точке $x=1$, то есть $y=1$.
Площадь треугольника вычисляется по формуле: $A = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
$A = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
Этот результат совпадает с пределом интегральных сумм из пункта в), что иллюстрирует геометрический смысл определенного интеграла как площади под графиком функции.

Ответ: Площадь фигуры равна $\frac{1}{2}$.