Номер 6.31, страница 180 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.31, страница 180.

Условие.

6.31° а) Что называют интегрированием функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$?

б) Как называют результат интегрирования функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$? Как его обозначают?

в) Что называют определённым интегралом от функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$?

г) В чём заключается геометрический смысл определённого интеграла?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Интегрированием функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ называют операцию нахождения (вычисления) определённого интеграла этой функции по данному отрезку. Если известна первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$, то процесс интегрирования сводится к нахождению разности $F(b) - F(a)$ в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница.

Ответ: Операция вычисления определённого интеграла функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$.

б) Результат интегрирования функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ называют определённым интегралом функции $f(x)$ по отрезку $[a; b]$ (или от $a$ до $b$).

Обозначают его следующим образом: $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$.

Здесь $\int$ — знак интеграла, $a$ и $b$ — нижний и верхний пределы интегрирования соответственно, $f(x)$ — подынтегральная функция, а $dx$ — элемент интегрирования, указывающий переменную, по которой ведётся интегрирование.

Ответ: Определённый интеграл; обозначается $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$.

в) Определённым интегралом от непрерывной функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ называют число, равное разности значений любой её первообразной $F(x)$ на концах этого отрезка: $ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a) $, где $F'(x) = f(x)$. Это определение известно как формула Ньютона-Лейбница. Более строго, определённый интеграл определяется как предел интегральных сумм Римана при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков разбиения стремится к нулю.

Ответ: Число, равное разности $F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$.

г) Геометрический смысл определённого интеграла заключается в следующем: если функция $f(x)$ неотрицательна ($f(x) \ge 0$) на отрезке $[a; b]$, то определённый интеграл $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$ численно равен площади криволинейной трапеции. Эта фигура ограничена графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс (осью $Ox$) и прямыми $x=a$ и $x=b$.

Если же функция $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ принимает как положительные, так и отрицательные значения, то определённый интеграл равен алгебраической сумме площадей фигур, ограниченных графиком $y=f(x)$ и осью $Ox$. При этом площади фигур, расположенных выше оси $Ox$, берутся со знаком «плюс», а площади фигур, расположенных ниже оси $Ox$, — со знаком «минус».

Ответ: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$ (для случая $f(x) \ge 0$).