Номер 8.24, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 8. Уравнения-следствия - номер 8.24, страница 236.

Условие.

8.24 a) $tg \frac{\pi x}{2} + x^2 - 7x = tg \frac{\pi x}{2} - 6;$

б) $ctg \frac{\pi x}{3} + x^2 - 2x = ctg \frac{\pi x}{3} + 24;$

в) $x^2 + 13 + log_2 (x^3 - 9) = 8x + log_2 (2x^3 - 18);$

г) $x^2 + 2x + log_3 (x^3 + 4) = 23 + log_3 (3x^3 + 12).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дано уравнение: $tg \frac{\pi x}{2} + x^2 - 7x = tg \frac{\pi x}{2} - 6$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция тангенса $tg(y)$ определена, если ее аргумент $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число. Для нашего уравнения это означает:

$\frac{\pi x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$

Разделив все части на $\pi$, получаем:

$\frac{x}{2} \neq \frac{1}{2} + k$

Умножив на 2, находим ОДЗ для $x$:

$x \neq 1 + 2k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Это значит, что $x$ не может быть нечетным целым числом.

Теперь упростим исходное уравнение. Слагаемое $tg \frac{\pi x}{2}$ есть в обеих частях уравнения, поэтому его можно сократить:

$x^2 - 7x = -6$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 7x + 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 7$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Отсюда находим корни:

$x_1 = 1, \quad x_2 = 6$

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 1 + 2k$):

• Для $x_1 = 1$: подставив в $1 = 1 + 2k$, получаем $2k=0$, откуда $k=0$. Так как $k$ является целым числом, корень $x=1$ не удовлетворяет ОДЗ.
• Для $x_2 = 6$: подставив в $6 = 1 + 2k$, получаем $2k=5$, откуда $k=2.5$. Так как $k$ не является целым числом, корень $x=6$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 6

б)

Дано уравнение: $ctg \frac{\pi x}{3} + x^2 - 2x = ctg \frac{\pi x}{3} + 24$.

ОДЗ для функции котангенса $ctg(y)$ определяется условием $y \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi x}{3} \neq \pi k$

$\frac{x}{3} \neq k$

$x \neq 3k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, $x$ не может быть целым числом, кратным 3.

Сократим $ctg \frac{\pi x}{3}$ в обеих частях уравнения:

$x^2 - 2x = 24$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 2x - 24 = 0$

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -24$. Корни уравнения:

$x_1 = 6, \quad x_2 = -4$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 3k$):

• Для $x_1 = 6$: так как $6 = 3 \cdot 2$, этот корень не удовлетворяет ОДЗ.
• Для $x_2 = -4$: $-4$ не делится на 3 нацело, поэтому корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -4

в)

Дано уравнение: $x^2 + 13 + log_2(x^3 - 9) = 8x + log_2(2x^3 - 18)$.

ОДЗ для логарифмической функции требует, чтобы ее аргумент был строго положительным. Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} x^3 - 9 > 0 \\ 2x^3 - 18 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^3 > 9 \\ x^3 > 9 \end{cases} \implies x^3 > 9 \implies x > \sqrt[3]{9}$

Преобразуем логарифм в правой части, используя свойство $log_a(bc) = log_a(b) + log_a(c)$:

$log_2(2x^3 - 18) = log_2(2(x^3 - 9)) = log_2(2) + log_2(x^3 - 9) = 1 + log_2(x^3 - 9)$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^2 + 13 + log_2(x^3 - 9) = 8x + 1 + log_2(x^3 - 9)$

Сократим $log_2(x^3 - 9)$:

$x^2 + 13 = 8x + 1$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 8$ и $x_1 \cdot x_2 = 12$. Корни:

$x_1 = 2, \quad x_2 = 6$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > \sqrt[3]{9}$):

• Для $x_1 = 2$: $2^3 = 8$, что меньше 9. Следовательно, $2 < \sqrt[3]{9}$. Этот корень не входит в ОДЗ.
• Для $x_2 = 6$: $6^3 = 216$, что больше 9. Следовательно, $6 > \sqrt[3]{9}$. Этот корень входит в ОДЗ.

Ответ: 6

г)

Дано уравнение: $x^2 + 2x + log_3(x^3 + 4) = 23 + log_3(3x^3 + 12)$.

Найдем ОДЗ из условий положительности аргументов логарифмов:

$\begin{cases} x^3 + 4 > 0 \\ 3x^3 + 12 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^3 > -4 \\ 3(x^3 + 4) > 0 \end{cases} \implies x^3 > -4 \implies x > \sqrt[3]{-4} \implies x > -\sqrt[3]{4}$

Преобразуем логарифм в правой части:

$log_3(3x^3 + 12) = log_3(3(x^3 + 4)) = log_3(3) + log_3(x^3 + 4) = 1 + log_3(x^3 + 4)$

Подставим в уравнение:

$x^2 + 2x + log_3(x^3 + 4) = 23 + 1 + log_3(x^3 + 4)$

Сократим $log_3(x^3 + 4)$:

$x^2 + 2x = 24$

$x^2 + 2x - 24 = 0$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -24$. Корни:

$x_1 = 4, \quad x_2 = -6$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -\sqrt[3]{4}$):

• Для $x_1 = 4$: $4$ — положительное число, а $-\sqrt[3]{4}$ — отрицательное. Очевидно, $4 > -\sqrt[3]{4}$. Корень входит в ОДЗ.
• Для $x_2 = -6$: Сравним $-6$ и $-\sqrt[3]{4}$. Так как $6 = \sqrt[3]{216}$, а $216 > 4$, то $\sqrt[3]{216} > \sqrt[3]{4}$. Умножив на -1, получаем $-\sqrt[3]{216} < -\sqrt[3]{4}$, то есть $-6 < -\sqrt[3]{4}$. Этот корень не входит в ОДЗ.

Ответ: 4