Номер 8.24, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.24, страница 236.
№8.24 (с. 236)
Условие. №8.24 (с. 236)
скриншот условия

8.24 a) $tg \frac{\pi x}{2} + x^2 - 7x = tg \frac{\pi x}{2} - 6;$
б) $ctg \frac{\pi x}{3} + x^2 - 2x = ctg \frac{\pi x}{3} + 24;$
в) $x^2 + 13 + log_2 (x^3 - 9) = 8x + log_2 (2x^3 - 18);$
г) $x^2 + 2x + log_3 (x^3 + 4) = 23 + log_3 (3x^3 + 12).$
Решение 1. №8.24 (с. 236)




Решение 2. №8.24 (с. 236)


Решение 4. №8.24 (с. 236)
а)
Дано уравнение: $tg \frac{\pi x}{2} + x^2 - 7x = tg \frac{\pi x}{2} - 6$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция тангенса $tg(y)$ определена, если ее аргумент $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число. Для нашего уравнения это означает:
$\frac{\pi x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$
Разделив все части на $\pi$, получаем:
$\frac{x}{2} \neq \frac{1}{2} + k$
Умножив на 2, находим ОДЗ для $x$:
$x \neq 1 + 2k, \quad k \in \mathbb{Z}$
Это значит, что $x$ не может быть нечетным целым числом.
Теперь упростим исходное уравнение. Слагаемое $tg \frac{\pi x}{2}$ есть в обеих частях уравнения, поэтому его можно сократить:
$x^2 - 7x = -6$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 7x + 6 = 0$
Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 7$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Отсюда находим корни:
$x_1 = 1, \quad x_2 = 6$
Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 1 + 2k$):
- Для $x_1 = 1$: подставив в $1 = 1 + 2k$, получаем $2k=0$, откуда $k=0$. Так как $k$ является целым числом, корень $x=1$ не удовлетворяет ОДЗ.
- Для $x_2 = 6$: подставив в $6 = 1 + 2k$, получаем $2k=5$, откуда $k=2.5$. Так как $k$ не является целым числом, корень $x=6$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 6
б)
Дано уравнение: $ctg \frac{\pi x}{3} + x^2 - 2x = ctg \frac{\pi x}{3} + 24$.
ОДЗ для функции котангенса $ctg(y)$ определяется условием $y \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$\frac{\pi x}{3} \neq \pi k$
$\frac{x}{3} \neq k$
$x \neq 3k, \quad k \in \mathbb{Z}$
Таким образом, $x$ не может быть целым числом, кратным 3.
Сократим $ctg \frac{\pi x}{3}$ в обеих частях уравнения:
$x^2 - 2x = 24$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$x^2 - 2x - 24 = 0$
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -24$. Корни уравнения:
$x_1 = 6, \quad x_2 = -4$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 3k$):
- Для $x_1 = 6$: так как $6 = 3 \cdot 2$, этот корень не удовлетворяет ОДЗ.
- Для $x_2 = -4$: $-4$ не делится на 3 нацело, поэтому корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -4
в)
Дано уравнение: $x^2 + 13 + log_2(x^3 - 9) = 8x + log_2(2x^3 - 18)$.
ОДЗ для логарифмической функции требует, чтобы ее аргумент был строго положительным. Получаем систему неравенств:
$\begin{cases} x^3 - 9 > 0 \\ 2x^3 - 18 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^3 > 9 \\ x^3 > 9 \end{cases} \implies x^3 > 9 \implies x > \sqrt[3]{9}$
Преобразуем логарифм в правой части, используя свойство $log_a(bc) = log_a(b) + log_a(c)$:
$log_2(2x^3 - 18) = log_2(2(x^3 - 9)) = log_2(2) + log_2(x^3 - 9) = 1 + log_2(x^3 - 9)$
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$x^2 + 13 + log_2(x^3 - 9) = 8x + 1 + log_2(x^3 - 9)$
Сократим $log_2(x^3 - 9)$:
$x^2 + 13 = 8x + 1$
$x^2 - 8x + 12 = 0$
По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 8$ и $x_1 \cdot x_2 = 12$. Корни:
$x_1 = 2, \quad x_2 = 6$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > \sqrt[3]{9}$):
- Для $x_1 = 2$: $2^3 = 8$, что меньше 9. Следовательно, $2 < \sqrt[3]{9}$. Этот корень не входит в ОДЗ.
- Для $x_2 = 6$: $6^3 = 216$, что больше 9. Следовательно, $6 > \sqrt[3]{9}$. Этот корень входит в ОДЗ.
Ответ: 6
г)
Дано уравнение: $x^2 + 2x + log_3(x^3 + 4) = 23 + log_3(3x^3 + 12)$.
Найдем ОДЗ из условий положительности аргументов логарифмов:
$\begin{cases} x^3 + 4 > 0 \\ 3x^3 + 12 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^3 > -4 \\ 3(x^3 + 4) > 0 \end{cases} \implies x^3 > -4 \implies x > \sqrt[3]{-4} \implies x > -\sqrt[3]{4}$
Преобразуем логарифм в правой части:
$log_3(3x^3 + 12) = log_3(3(x^3 + 4)) = log_3(3) + log_3(x^3 + 4) = 1 + log_3(x^3 + 4)$
Подставим в уравнение:
$x^2 + 2x + log_3(x^3 + 4) = 23 + 1 + log_3(x^3 + 4)$
Сократим $log_3(x^3 + 4)$:
$x^2 + 2x = 24$
$x^2 + 2x - 24 = 0$
По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -24$. Корни:
$x_1 = 4, \quad x_2 = -6$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -\sqrt[3]{4}$):
- Для $x_1 = 4$: $4$ — положительное число, а $-\sqrt[3]{4}$ — отрицательное. Очевидно, $4 > -\sqrt[3]{4}$. Корень входит в ОДЗ.
- Для $x_2 = -6$: Сравним $-6$ и $-\sqrt[3]{4}$. Так как $6 = \sqrt[3]{216}$, а $216 > 4$, то $\sqrt[3]{216} > \sqrt[3]{4}$. Умножив на -1, получаем $-\sqrt[3]{216} < -\sqrt[3]{4}$, то есть $-6 < -\sqrt[3]{4}$. Этот корень не входит в ОДЗ.
Ответ: 4
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 8.24 расположенного на странице 236 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8.24 (с. 236), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.