Номер 8.26, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 8. Уравнения-следствия - номер 8.26, страница 236.

Условие.

8.26 a) $\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\sin x}{\cos x};$

В) $\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin 4x}{\cos 4x};$

б) $\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = -\frac{\sin x}{\cos x};$

Г) $\frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{\sin 4x}{\cos 4x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)Исходное уравнение: $ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\sin x}{\cos x} $.
Первым шагом определим Область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
1. $ \cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
2. $ \cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z} $
Второе условие является более строгим и включает в себя первое.
Уравнение можно переписать, используя определение тангенса $ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $:
$ \tan 2x = \tan x $
Общее решение для уравнения вида $ \tan A = \tan B $ есть $ A = B + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Применим это к нашему уравнению:
$ 2x = x + \pi n $
$ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Проверим, удовлетворяет ли полученное решение ОДЗ. Подставим $ x = \pi n $ в выражения для знаменателей:
$ \cos(\pi n) = (-1)^n \neq 0 $
$ \cos(2\pi n) = 1 \neq 0 $
Оба условия выполняются, следовательно, найденное решение является верным.
Ответ: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б)Исходное уравнение: $ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = -\frac{\sin x}{\cos x} $.
ОДЗ такое же, как и в предыдущем пункте: $ x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z} $.
Перепишем уравнение с использованием тангенса:
$ \tan 2x = -\tan x $
Используя свойство нечетности функции тангенса ($ -\tan x = \tan(-x) $), получаем:
$ \tan 2x = \tan(-x) $
Решаем по общей формуле $ A = B + \pi n $:
$ 2x = -x + \pi n $
$ 3x = \pi n $
$ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $
Проверим решение на соответствие ОДЗ. Необходимо, чтобы $ \cos x \neq 0 $ и $ \cos 2x \neq 0 $.
1. $ \cos(\frac{\pi n}{3}) = 0 $ если $ \frac{\pi n}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies 2n = 3 + 6k \implies 2(n-3k) = 3 $. Это равенство невозможно для целых $ n $ и $ k $, так как слева четное число, а справа нечетное.
2. $ \cos(2 \cdot \frac{\pi n}{3}) = 0 $ если $ \frac{2\pi n}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies 4n = 3 + 6k \implies 2(2n-3k) = 3 $. Это равенство также невозможно.
Решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

в)Исходное уравнение: $ \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin 4x}{\cos 4x} $.
ОДЗ:
1. $ \cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
2. $ \cos 4x \neq 0 \implies 4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4}, m \in \mathbb{Z} $
Запишем уравнение через тангенсы:
$ \tan x = \tan 4x $
Решаем:
$ 4x = x + \pi n $
$ 3x = \pi n $
$ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $
Проверка ОДЗ аналогична проверке в пункте б). Условия $ \cos(\frac{\pi n}{3}) \neq 0 $ и $ \cos(\frac{4\pi n}{3}) \neq 0 $ выполняются для всех целых $ n $, так как $ \frac{\pi n}{3} $ и $ \frac{4\pi n}{3} $ никогда не будут равны $ \frac{\pi}{2} + \pi k $.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

г)Исходное уравнение: $ \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{\sin 4x}{\cos 4x} $.
ОДЗ такая же, как в пункте в): $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $ и $ x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4} $ для $ k,m \in \mathbb{Z} $.
Перепишем уравнение:
$ \tan x = -\tan 4x $
$ \tan x = \tan(-4x) $
Решаем:
$ x = -4x + \pi n $
$ 5x = \pi n $
$ x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $
Проверим ОДЗ.
1. $ \cos(\frac{\pi n}{5}) = 0 $ если $ \frac{\pi n}{5} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies 2n = 5 + 10k \implies 2(n-5k) = 5 $. Равенство невозможно.
2. $ \cos(4 \cdot \frac{\pi n}{5}) = 0 $ если $ \frac{4\pi n}{5} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies 8n = 5 + 10k \implies 2(4n-5k) = 5 $. Равенство невозможно.
Решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $.