Номер 8.32, страница 238 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.32, страница 238.

Условие.

Решите уравнение (8.32—8.41):

8.32 a) $\sqrt{2x-3} + \sqrt{4x+1} = 4;$

б) $\sqrt{2x+6} = 2 + \sqrt{x+1};$

в) $\sqrt{4x+8} - \sqrt{3x-2} = 2;$

г) $\sqrt{3x-2} + \sqrt{2x+5} = 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt{2x - 3} + \sqrt{4x + 1} = 4$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 2x - 3 \ge 0 \\ 4x + 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge 3 \\ 4x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1.5 \\ x \ge -0.25 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x \ge 1.5$.

2. Уединим один из корней и возведем обе части уравнения в квадрат:
$\sqrt{4x + 1} = 4 - \sqrt{2x - 3}$
$(\sqrt{4x + 1})^2 = (4 - \sqrt{2x - 3})^2$
$4x + 1 = 16 - 8\sqrt{2x - 3} + (2x - 3)$
$4x + 1 = 13 + 2x - 8\sqrt{2x - 3}$

3. Уединим оставшийся корень:
$4x - 2x + 1 - 13 = -8\sqrt{2x - 3}$
$2x - 12 = -8\sqrt{2x - 3}$
Разделим обе части на 2:
$x - 6 = -4\sqrt{2x - 3}$

4. Снова возведем в квадрат. Так как правая часть $-4\sqrt{2x - 3} \le 0$, то и левая часть должна быть $x - 6 \le 0$, то есть $x \le 6$. С учетом ОДЗ получаем ограничение $1.5 \le x \le 6$.
$(x - 6)^2 = (-4\sqrt{2x - 3})^2$
$x^2 - 12x + 36 = 16(2x - 3)$
$x^2 - 12x + 36 = 32x - 48$
$x^2 - 44x + 84 = 0$

5. Решим полученное квадратное уравнение:
$D = (-44)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 1936 - 336 = 1600 = 40^2$
$x_1 = \frac{44 - 40}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{44 + 40}{2} = \frac{84}{2} = 42$

6. Проверим корни. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $1.5 \le x \le 6$. Корень $x_2 = 42$ не удовлетворяет условию $x \le 6$, значит, это посторонний корень.
Проверка для $x=2$: $\sqrt{2 \cdot 2 - 3} + \sqrt{4 \cdot 2 + 1} = \sqrt{1} + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4$. Верно.

Ответ: 2.

б) $\sqrt{2x + 6} = 2 + \sqrt{x + 1}$

1. ОДЗ:
$\begin{cases} 2x + 6 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge -6 \\ x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge -1 \end{cases}$
Общая область: $x \ge -1$.

2. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2x + 6})^2 = (2 + \sqrt{x + 1})^2$
$2x + 6 = 4 + 4\sqrt{x + 1} + (x + 1)$
$2x + 6 = 5 + x + 4\sqrt{x + 1}$

3. Уединим корень:
$2x - x + 6 - 5 = 4\sqrt{x + 1}$
$x + 1 = 4\sqrt{x + 1}$

4. Снова возведем в квадрат. Условие $x + 1 \ge 0$ совпадает с ОДЗ.
$(x + 1)^2 = (4\sqrt{x + 1})^2$
$(x + 1)^2 = 16(x + 1)$
$(x + 1)^2 - 16(x + 1) = 0$
$(x + 1)(x + 1 - 16) = 0$
$(x + 1)(x - 15) = 0$
$x_1 = -1$ или $x_2 = 15$.

5. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -1$). Проверим их подстановкой в исходное уравнение.
При $x = -1$: $\sqrt{2(-1) + 6} = \sqrt{4} = 2$; $2 + \sqrt{-1 + 1} = 2 + 0 = 2$. $2 = 2$. Верно.
При $x = 15$: $\sqrt{2(15) + 6} = \sqrt{36} = 6$; $2 + \sqrt{15 + 1} = 2 + \sqrt{16} = 2 + 4 = 6$. $6 = 6$. Верно.

Ответ: -1; 15.

в) $\sqrt{4x + 8} - \sqrt{3x - 2} = 2$

1. ОДЗ:
$\begin{cases} 4x + 8 \ge 0 \\ 3x - 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x \ge -8 \\ 3x \ge 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge 2/3 \end{cases}$
Общая область: $x \ge 2/3$.

2. Уединим один из корней и возведем в квадрат:
$\sqrt{4x + 8} = 2 + \sqrt{3x - 2}$
$(\sqrt{4x + 8})^2 = (2 + \sqrt{3x - 2})^2$
$4x + 8 = 4 + 4\sqrt{3x - 2} + (3x - 2)$
$4x + 8 = 2 + 3x + 4\sqrt{3x - 2}$

3. Уединим оставшийся корень:
$4x - 3x + 8 - 2 = 4\sqrt{3x - 2}$
$x + 6 = 4\sqrt{3x - 2}$

4. Снова возведем в квадрат. Условие $x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$ выполняется, так как по ОДЗ $x \ge 2/3$.
$(x + 6)^2 = (4\sqrt{3x - 2})^2$
$x^2 + 12x + 36 = 16(3x - 2)$
$x^2 + 12x + 36 = 48x - 32$
$x^2 - 36x + 68 = 0$

5. Решим квадратное уравнение:
$D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 68 = 1296 - 272 = 1024 = 32^2$
$x_1 = \frac{36 - 32}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{36 + 32}{2} = \frac{68}{2} = 34$

6. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 2/3$). Проведем проверку.
При $x = 2$: $\sqrt{4(2) + 8} - \sqrt{3(2) - 2} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$. Верно.
При $x = 34$: $\sqrt{4(34) + 8} - \sqrt{3(34) - 2} = \sqrt{136+8} - \sqrt{102-2} = \sqrt{144} - \sqrt{100} = 12 - 10 = 2$. Верно.

Ответ: 2; 34.

г) $\sqrt{3x - 2} + \sqrt{2x + 5} = 5$

1. ОДЗ:
$\begin{cases} 3x - 2 \ge 0 \\ 2x + 5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge 2 \\ 2x \ge -5 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2/3 \\ x \ge -2.5 \end{cases}$
Общая область: $x \ge 2/3$.

2. Уединим корень и возведем в квадрат:
$\sqrt{2x + 5} = 5 - \sqrt{3x - 2}$
$(\sqrt{2x + 5})^2 = (5 - \sqrt{3x - 2})^2$
$2x + 5 = 25 - 10\sqrt{3x - 2} + (3x - 2)$
$2x + 5 = 23 + 3x - 10\sqrt{3x - 2}$

3. Уединим оставшийся корень:
$10\sqrt{3x - 2} = 23 + 3x - 2x - 5$
$10\sqrt{3x - 2} = x + 18$

4. Снова возведем в квадрат. Условие $x + 18 \ge 0 \implies x \ge -18$ выполняется, так как $x \ge 2/3$.
$(10\sqrt{3x - 2})^2 = (x + 18)^2$
$100(3x - 2) = x^2 + 36x + 324$
$300x - 200 = x^2 + 36x + 324$
$x^2 - 264x + 524 = 0$

5. Решим квадратное уравнение:
$D = (-264)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 524 = 69696 - 2096 = 67600 = 260^2$
$x_1 = \frac{264 - 260}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{264 + 260}{2} = \frac{524}{2} = 262$

6. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 2/3$). При возведении в квадрат на шаге 2 мы неявно ввели условие $5 - \sqrt{3x - 2} \ge 0$, так как $\sqrt{2x+5}$ неотрицателен. Проверим это условие: $5 \ge \sqrt{3x-2} \implies 25 \ge 3x-2 \implies 27 \ge 3x \implies x \le 9$.
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $x \le 9$.
Корень $x_2 = 262$ не удовлетворяет условию $x \le 9$, это посторонний корень.
Проверка для $x = 2$: $\sqrt{3(2) - 2} + \sqrt{2(2) + 5} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$. Верно.

Ответ: 2.