Страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

9.15* Докажите справедливость утверждения 6.

б) Докажем утверждение, что при адиабатном сжатии газа его внутренняя энергия увеличивается.

Доказательство основывается на первом законе термодинамики. Запишем его в виде, где $A$ — это работа, совершённая над системой (газом) внешними силами, а $Q$ — количество теплоты, переданное системе:
$ \Delta U = Q + A $
Здесь $ \Delta U $ — изменение внутренней энергии системы.

Рассмотрим условия, заданные в утверждении:

1. Адиабатный процесс. По определению, это процесс, который протекает без теплообмена с окружающей средой. Следовательно, количество теплоты, переданное газу, равно нулю:
$ Q = 0 $

2. Сжатие газа. При сжатии газа внешние силы совершают над ним работу для уменьшения его объема. Работа $A$, совершённая над газом, по соглашению о знаках в термодинамике считается положительной:
$ A > 0 $

Теперь подставим эти условия ($ Q = 0 $ и $ A > 0 $) в уравнение первого закона термодинамики:
$ \Delta U = 0 + A \implies \Delta U = A $

Из этого соотношения следует, что изменение внутренней энергии газа $ \Delta U $ в точности равно работе $ A $, совершенной над ним. Поскольку мы установили, что при сжатии работа $ A $ положительна, то и изменение внутренней энергии $ \Delta U $ также будет положительным:
$ \Delta U > 0 $

Положительное изменение внутренней энергии ($ \Delta U = U_{конечная} - U_{начальная} $) означает, что конечная внутренняя энергия газа больше начальной ($ U_{конечная} > U_{начальная} $).

Таким образом, утверждение полностью доказано: при адиабатном сжатии газа его внутренняя энергия действительно увеличивается, так как вся работа, совершаемая внешними силами, идет на увеличение его внутренней энергии (для идеального газа это выражается в росте температуры).

Ответ: Утверждение справедливо. Согласно первому закону термодинамики ($ \Delta U = Q + A $), для адиабатного процесса ($Q=0$) изменение внутренней энергии равно работе, совершённой над газом ($ \Delta U = A $). При сжатии газа работа внешних сил $A$ положительна, следовательно, внутренняя энергия газа увеличивается ($ \Delta U > 0 $).

Решите уравнение (9.16–9.23):

9.16 a) $(\sqrt{36x^2 + 7} - \sqrt{35x^2 + 16}) \sqrt{2} - x = 0$;

б) $(\sqrt{26x^2 + 1} - \sqrt{25x^2 + 17}) \sqrt{3} - x = 0.$

a) Решим уравнение $(\sqrt{36x^2+7} - \sqrt{35x^2+16})\sqrt{2-x} = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом определены. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
1. $36x^2+7 \ge 0$. Это неравенство верно для любого $x$, так как $x^2 \ge 0$ и $36x^2+7 \ge 7 > 0$.
2. $35x^2+16 \ge 0$. Это неравенство также верно для любого $x$, так как $35x^2+16 \ge 16 > 0$.
3. $2-x \ge 0$, откуда следует $x \le 2$.
Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in (-\infty, 2]$.

Теперь рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:

Случай 1: $\sqrt{2-x} = 0$.
Возводим обе части в квадрат: $2-x = 0$, откуда $x=2$.
Корень $x=2$ входит в ОДЗ.

Случай 2: $\sqrt{36x^2+7} - \sqrt{35x^2+16} = 0$.
Перепишем уравнение в виде $\sqrt{36x^2+7} = \sqrt{35x^2+16}$.
Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$36x^2+7 = 35x^2+16$
$36x^2 - 35x^2 = 16 - 7$
$x^2 = 9$
Отсюда получаем два значения: $x = 3$ и $x = -3$.

Проверим эти значения по ОДЗ ($x \le 2$):
$x=3$ не удовлетворяет условию $x \le 2$, поэтому это посторонний корень.
$x=-3$ удовлетворяет условию $x \le 2$, поэтому это корень уравнения.

Объединяя корни из обоих случаев, получаем окончательное решение.

Ответ: $-3; 2$.

б) Решим уравнение $(\sqrt{26x^2+1} - \sqrt{25x^2+17})\sqrt{3-x} = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательны:
1. $26x^2+1 \ge 0$. Верно для любого $x$, так как $26x^2+1 \ge 1 > 0$.
2. $25x^2+17 \ge 0$. Верно для любого $x$, так как $25x^2+17 \ge 17 > 0$.
3. $3-x \ge 0$, откуда следует $x \le 3$.
ОДЗ уравнения: $x \in (-\infty, 3]$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: $\sqrt{3-x} = 0$.
Возводим в квадрат: $3-x = 0$, откуда $x=3$.
Корень $x=3$ принадлежит ОДЗ.

Случай 2: $\sqrt{26x^2+1} - \sqrt{25x^2+17} = 0$.
Перепишем как $\sqrt{26x^2+1} = \sqrt{25x^2+17}$.
Возводим в квадрат обе части:
$26x^2+1 = 25x^2+17$
$26x^2 - 25x^2 = 17 - 1$
$x^2 = 16$
Получаем два значения: $x = 4$ и $x = -4$.

Проверим найденные значения по ОДЗ ($x \le 3$):
$x=4$ не удовлетворяет условию $x \le 3$, это посторонний корень.
$x=-4$ удовлетворяет условию $x \le 3$, это корень уравнения.

Собираем все найденные корни.

Ответ: $-4; 3$.

9.17 a) $(x^2 - 7x + 12) \log_{31} (x + 5) = 0;$

б) $(x^2 + 3x - 4) \log_{32} (3\dot{x} + 7) = 0.$

а) $(x^2 - 7x + 12) \log_{31}(x + 5) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x + 5 > 0$
$x > -5$
Теперь рассмотрим два случая, при которых произведение равно нулю:
1) Первый множитель равен нулю:
$x^2 - 7x + 12 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью теоремы Виета:
$x_1 + x_2 = 7$
$x_1 \cdot x_2 = 12$
Отсюда корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.
Проверим, удовлетворяют ли эти корни ОДЗ ($x > -5$):
Для $x_1 = 3$: $3 > -5$. Корень подходит.
Для $x_2 = 4$: $4 > -5$. Корень подходит.
2) Второй множитель равен нулю:
$\log_{31}(x + 5) = 0$
По определению логарифма, это уравнение равносильно следующему:
$x + 5 = 31^0$
$x + 5 = 1$
$x = 1 - 5$
$x_3 = -4$
Проверим, удовлетворяет ли этот корень ОДЗ ($x > -5$):
Для $x_3 = -4$: $-4 > -5$. Корень подходит.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $-4; 3; 4$.

б) $(x^2 + 3x - 4) \log_{32}(3x + 7) = 0$

Это уравнение также представляет собой произведение двух множителей, равное нулю.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что аргумент логарифма должен быть положительным:
$3x + 7 > 0$
$3x > -7$
$x > -\frac{7}{3}$
Рассмотрим два случая:
1) Первый множитель равен нулю:
$x^2 + 3x - 4 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -3$
$x_1 \cdot x_2 = -4$
Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -\frac{7}{3}$):
Для $x_1 = 1$: $1 > -\frac{7}{3}$. Корень подходит.
Для $x_2 = -4$: $-4 < -\frac{7}{3}$ (так как $-4 = -\frac{12}{3}$). Корень не подходит, так как не входит в ОДЗ.
2) Второй множитель равен нулю:
$\log_{32}(3x + 7) = 0$
По определению логарифма:
$3x + 7 = 32^0$
$3x + 7 = 1$
$3x = -6$
$x_3 = -2$
Проверим этот корень на соответствие ОДЗ ($x > -\frac{7}{3}$):
Для $x_3 = -2$: $-2 > -\frac{7}{3}$ (так как $-2 = -\frac{6}{3}$). Корень подходит.
Следовательно, решениями уравнения являются $x=1$ и $x=-2$.
Ответ: $-2; 1$.

9.18 a) $\sin x \log_{11}(4 - x^2) = 0;$

Б) $\cos x \log_{12}(9 - x^2) = 0;$

В) $\operatorname{tg} x \log_{13}(x^2 - x - 6) = 0;$

Г) $\operatorname{ctg} x \log_{14}(x^2 + x - 12) = 0.$

a) Решим уравнение $ \sin x \log_{11}(4 - x^2) = 0 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$ 4 - x^2 > 0 \iff x^2 < 4 \iff -2 < x < 2 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-2, 2) $.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (определен). Рассмотрим два случая:

1. $ \sin x = 0 $.

Решения этого уравнения имеют вид $ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Выберем те решения, которые принадлежат ОДЗ $ (-2, 2) $.

При $ n = 0 $, $ x = 0 $. Так как $ -2 < 0 < 2 $, этот корень подходит.

При $ n = 1 $, $ x = \pi \approx 3.14 $. Этот корень не входит в ОДЗ.

При $ n = -1 $, $ x = -\pi \approx -3.14 $. Этот корень не входит в ОДЗ.

Для других целых $ n $, значения $ x $ также будут выходить за пределы интервала $ (-2, 2) $.

Следовательно, из этого случая получаем единственное решение $ x = 0 $.

2. $ \log_{11}(4 - x^2) = 0 $.

По определению логарифма, это уравнение равносильно следующему:

$ 4 - x^2 = 11^0 \implies 4 - x^2 = 1 $.

Отсюда $ x^2 = 3 $, что дает два корня: $ x_1 = \sqrt{3} $ и $ x_2 = -\sqrt{3} $.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ. Так как $ (\sqrt{3})^2 = 3 < 4 $ и $ (-\sqrt{3})^2 = 3 < 4 $, оба корня $ \sqrt{3} $ и $ -\sqrt{3} $ принадлежат интервалу $ (-2, 2) $.

Объединяя все найденные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $ \{-\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}\} $.

б) Решим уравнение $ \cos x \log_{12}(9 - x^2) = 0 $.

ОДЗ определяется условием $ 9 - x^2 > 0 $:

$ x^2 < 9 \iff -3 < x < 3 $.

ОДЗ: $ x \in (-3, 3) $.

Рассмотрим два случая:

1. $ \cos x = 0 $.

Решения: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Выберем решения, принадлежащие ОДЗ $ (-3, 3) $.

При $ n = 0 $, $ x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $. Корень подходит, так как $ -3 < 1.57 < 3 $.

При $ n = -1 $, $ x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57 $. Корень подходит, так как $ -3 < -1.57 < 3 $.

При $ n = 1 $, $ x = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $, не входит в ОДЗ.

При $ n = -2 $, $ x = -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71 $, не входит в ОДЗ.

Таким образом, из этого случая получаем два решения: $ x = \frac{\pi}{2} $ и $ x = -\frac{\pi}{2} $.

2. $ \log_{12}(9 - x^2) = 0 $.

$ 9 - x^2 = 12^0 \implies 9 - x^2 = 1 $.

$ x^2 = 8 \implies x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} $.

Проверим принадлежность ОДЗ. Так как $ (2\sqrt{2})^2 = 8 < 9 $, оба корня $ 2\sqrt{2} $ и $ -2\sqrt{2} $ принадлежат интервалу $ (-3, 3) $.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $ \{-2\sqrt{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, 2\sqrt{2}\} $.

в) Решим уравнение $ \tan x \log_{13}(x^2 - x - 6) = 0 $.

Найдем ОДЗ. Во-первых, аргумент логарифма должен быть положительным:

$ x^2 - x - 6 > 0 $. Корнями квадратного трехчлена $ x^2 - x - 6 $ являются $ x_1 = -2, x_2 = 3 $. Неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty) $.

Во-вторых, тангенс определен, если $ \cos x \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $.

ОДЗ: $ x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty) $ и $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $.

Рассмотрим два случая:

1. $ \tan x = 0 $.

Решения: $ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Проверим эти решения на принадлежность ОДЗ.

При $ n=0 $, $ x=0 $, что не входит в ОДЗ.

При $ n \ge 1 $, $ x = \pi, 2\pi, \dots $. Все эти значения больше 3 (т.к. $ \pi \approx 3.14 > 3 $), поэтому они входят в ОДЗ.

При $ n \le -1 $, $ x = -\pi, -2\pi, \dots $. Все эти значения меньше -2 (т.к. $ -\pi \approx -3.14 < -2 $), поэтому они входят в ОДЗ.

Итак, решения из этого случая: $ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 $.

2. $ \log_{13}(x^2 - x - 6) = 0 $.

$ x^2 - x - 6 = 13^0 \implies x^2 - x - 6 = 1 \implies x^2 - x - 7 = 0 $.

Решим квадратное уравнение: $ D = (-1)^2 - 4(1)(-7) = 1 + 28 = 29 $.

$ x = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2} $.

Проверим корни. $ \sqrt{29} \approx 5.385 $.

$ x_1 = \frac{1 + \sqrt{29}}{2} \approx \frac{1+5.385}{2} \approx 3.19 $. Это значение больше 3, значит, входит в ОДЗ.

$ x_2 = \frac{1 - \sqrt{29}}{2} \approx \frac{1-5.385}{2} \approx -2.19 $. Это значение меньше -2, значит, входит в ОДЗ.

Эти иррациональные корни не совпадают ни с одним из значений $ \frac{\pi}{2} + \pi k $.

Ответ: $ \{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\} \cup \{\frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}\} $.

г) Решим уравнение $ \cot x \log_{14}(x^2 + x - 12) = 0 $.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$ x^2 + x - 12 > 0 $. Корнями трехчлена $ x^2 + x - 12 $ являются $ x_1 = -4, x_2 = 3 $. Неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, -4) \cup (3, \infty) $.

Котангенс определен, если $ \sin x \neq 0 $, то есть $ x \neq \pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $.

ОДЗ: $ x \in (-\infty, -4) \cup (3, \infty) $ и $ x \neq \pi k $.

Рассмотрим два случая:

1. $ \cot x = 0 $.

Решения: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Проверим эти решения на принадлежность ОДЗ.

Для $ x > 3 $: $ \frac{\pi}{2} + \pi n > 3 \implies \pi(n+0.5) > 3 \implies n+0.5 > \frac{3}{\pi} \approx 0.955 \implies n > 0.455 $. Подходят $ n \ge 1 $.

Для $ x < -4 $: $ \frac{\pi}{2} + \pi n < -4 \implies \pi(n+0.5) < -4 \implies n+0.5 < -\frac{4}{\pi} \approx -1.273 \implies n < -1.773 $. Подходят $ n \le -2 $.

Решения из этого случая: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z}, n \ge 1 $ или $ n \le -2 $.

2. $ \log_{14}(x^2 + x - 12) = 0 $.

$ x^2 + x - 12 = 14^0 \implies x^2 + x - 12 = 1 \implies x^2 + x - 13 = 0 $.

Решим квадратное уравнение: $ D = 1^2 - 4(1)(-13) = 1 + 52 = 53 $.

$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{53}}{2} $.

Проверим корни. $ \sqrt{53} \approx 7.28 $.

$ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{53}}{2} \approx \frac{-1+7.28}{2} \approx 3.14 $. Это значение больше 3, значит, входит в ОДЗ.

$ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{53}}{2} \approx \frac{-1-7.28}{2} \approx -4.14 $. Это значение меньше -4, значит, входит в ОДЗ.

Эти иррациональные корни не совпадают ни с одним из значений $ \pi k $.

Ответ: $ \{\frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}, n \le -2 \text{ или } n \ge 1\} \cup \{\frac{-1 \pm \sqrt{53}}{2}\} $.

9.19 a) $( \cos 2x - 3 \cos x - 1 ) \sqrt{\log_{\frac{1}{3}}(x - 2) + 2} = 0;$

б) $( \cos 2x + 7 \cos x + 4 ) \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) + 1} = 0;$

в) $( 4^{4 - x} - 2^{x - 1} ) \log_2 x = 0;$ г) $( 4^{5 - x} - 2^{x - 1} ) \log_3 x = 0.$

а) $(\cos 2x - 3\cos x - 1) \sqrt{\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + 2} = 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма — строго положительным.

Система неравенств для ОДЗ:

$\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}}(x-2) + 2 \ge 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$

Из второго неравенства получаем $x > 2$.

Решим первое неравенство:

$\log_{\frac{1}{3}}(x-2) \ge -2$

Так как основание логарифма $\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0, 1)$, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x - 2 \le \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$

$x - 2 \le 3^2$

$x - 2 \le 9$

$x \le 11$

Объединяя условия $x > 2$ и $x \le 11$, получаем ОДЗ: $x \in (2, 11]$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (т.е. значение $x$ входит в ОДЗ).

Случай 1. $\sqrt{\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + 2} = 0$.

Возводим обе части в квадрат:

$\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + 2 = 0$

$\log_{\frac{1}{3}}(x-2) = -2$

$x-2 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$

$x-2 = 9$

$x = 11$.

Значение $x=11$ принадлежит ОДЗ.

Случай 2. $\cos 2x - 3\cos x - 1 = 0$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$(2\cos^2 x - 1) - 3\cos x - 1 = 0$

$2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0$.

Пусть $t = \cos x$, причем $|t| \le 1$.

$2t^2 - 3t - 2 = 0$.

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

$t_{1} = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2}$

$t_{2} = \frac{3+5}{4} = 2$ (посторонний корень, так как $|\cos x| \le 1$).

Возвращаемся к замене: $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Общее решение: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь отберем корни, попадающие в интервал $(2, 11]$. Используем $\pi \approx 3.14$.

Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

• при $k=0$: $x = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09$. $2 < 2.09 \le 11$. Подходит.
• при $k=1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \approx 8.38$. $2 < 8.38 \le 11$. Подходит.

Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

• при $k=1$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19$. $2 < 4.19 \le 11$. Подходит.
• при $k=2$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} \approx 10.47$. $2 < 10.47 \le 11$. Подходит.

Объединяем все найденные корни.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}, 11$.

б) $(\cos 2x + 7\cos x + 4) \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x-3) + 1} = 0$

ОДЗ определяется системой:

$\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}(x-3) + 1 \ge 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases}$

Из второго неравенства: $x > 3$.

Решаем первое неравенство:

$\log_{\frac{1}{2}}(x-3) \ge -1$.

Так как основание $\frac{1}{2} < 1$, знак неравенства меняется:

$x - 3 \le \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$

$x - 3 \le 2 \implies x \le 5$.

ОДЗ: $x \in (3, 5]$.

Случай 1. $\sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x-3) + 1} = 0$.

$\log_{\frac{1}{2}}(x-3) = -1 \implies x-3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 \implies x = 5$.

Корень $x=5$ входит в ОДЗ.

Случай 2. $\cos 2x + 7\cos x + 4 = 0$.

$2\cos^2 x - 1 + 7\cos x + 4 = 0$

$2\cos^2 x + 7\cos x + 3 = 0$.

Замена $t = \cos x$, $|t| \le 1$.

$2t^2 + 7t + 3 = 0$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.

$t_{1} = \frac{-7-5}{4} = -3$ (посторонний корень).

$t_{2} = \frac{-7+5}{4} = -\frac{1}{2}$.

$\cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Отбираем корни из промежутка $(3, 5]$.

Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: при $k=0$, $x = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09 < 3$. Другие $k$ тоже не подходят.

Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: при $k=1$, $x = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19$. $3 < 4.19 \le 5$. Подходит.

Ответ: $\frac{4\pi}{3}, 5$.

в) $(4^{4-x} - 2^{x-1}) \log_2 x = 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1. $\log_2 x = 0$.

$x = 2^0 = 1$. Корень $x=1$ входит в ОДЗ.

Случай 2. $4^{4-x} - 2^{x-1} = 0$.

$4^{4-x} = 2^{x-1}$

$(2^2)^{4-x} = 2^{x-1}$

$2^{8-2x} = 2^{x-1}$.

Приравниваем показатели:

$8-2x = x-1$

$9 = 3x$

$x = 3$. Корень $x=3$ входит в ОДЗ.

Ответ: $1, 3$.

г) $(4^{5-x} - 2^{x-1}) \log_3 x = 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Случай 1. $\log_3 x = 0$.

$x = 3^0 = 1$. Корень $x=1$ входит в ОДЗ.

Случай 2. $4^{5-x} - 2^{x-1} = 0$.

$4^{5-x} = 2^{x-1}$

$(2^2)^{5-x} = 2^{x-1}$

$2^{10-2x} = 2^{x-1}$.

Приравниваем показатели:

$10-2x = x-1$

$11 = 3x$

$x = \frac{11}{3}$. Корень $x=\frac{11}{3}$ входит в ОДЗ.

Ответ: $1, \frac{11}{3}$.

9.20 a) $\sin x (\operatorname{tg} x - 1) = 0;$

Б) $\operatorname{tg} x (\sin x - 1) = 0;$

В) $(\operatorname{tg} x + 1) \cos x = 0;$

Г) $(\operatorname{ctg} x - 1) \sin x = 0.$

Дано уравнение $ \sin x (\tg x - 1) = 0 $.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом существуют.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется существованием тангенса: $ \cos x \ne 0 $, то есть $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

1) $ \sin x = 0 $.
Решением этого уравнения является $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ. При $ x = \pi k $, $ \cos(\pi k) = (-1)^k \ne 0 $. Следовательно, эти корни являются решениями исходного уравнения.

2) $ \tg x - 1 = 0 $.
$ \tg x = 1 $.
Решением этого уравнения является $ x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z} $.
Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ. При $ x = \frac{\pi}{4} + \pi m $, $ \cos(\frac{\pi}{4} + \pi m) = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \ne 0 $. Следовательно, эти корни также являются решениями.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем ответ.

Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $; $ x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Дано уравнение $ \tg x (\sin x - 1) = 0 $.

ОДЗ: $ \cos x \ne 0 $, то есть $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Рассмотрим два случая:

1) $ \tg x = 0 $.
Решением этого уравнения является $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $ \cos(\pi k) = (-1)^k \ne 0 $.

2) $ \sin x - 1 = 0 $.
$ \sin x = 1 $.
Решением этого уравнения является $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.
Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ. При $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m $, $ \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 0 $. Эти значения не входят в ОДЗ, так как при них $ \tg x $ не определен. Следовательно, это посторонние корни.

Таким образом, решением исходного уравнения являются только корни из первого случая.

Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Дано уравнение $ (\tg x + 1)\cos x = 0 $.

ОДЗ: $ \cos x \ne 0 $, то есть $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Поскольку в ОДЗ $ \cos x \ne 0 $, мы не можем приравнивать этот множитель к нулю, так как при $ \cos x = 0 $ выражение $ \tg x $ не определено. Следовательно, для нахождения решений необходимо, чтобы первый множитель был равен нулю.

$ \tg x + 1 = 0 $
$ \tg x = -1 $

Решением этого уравнения является $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $ \cos(-\frac{\pi}{4} + \pi k) = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \ne 0 $.

Другой способ решения — преобразование:
$ (\frac{\sin x}{\cos x} + 1)\cos x = 0 $
Раскрывая скобки с учетом ОДЗ, получаем:
$ \sin x + \cos x = 0 $
Так как $ \cos x \ne 0 $, делим обе части на $ \cos x $:
$ \tg x + 1 = 0 \implies \tg x = -1 $.
$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Дано уравнение $ (\ctg x - 1)\sin x = 0 $.

ОДЗ определяется существованием котангенса: $ \sin x \ne 0 $, то есть $ x \ne \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Аналогично предыдущему пункту, множитель $ \sin x $ не может быть равен нулю, так как это нарушает ОДЗ (выражение $ \ctg x $ было бы не определено).

Следовательно, приравниваем к нулю первый множитель:

$ \ctg x - 1 = 0 $
$ \ctg x = 1 $

Решением этого уравнения является $ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $ \sin(\frac{\pi}{4} + \pi k) = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \ne 0 $.

Другой способ решения — преобразование:
$ (\frac{\cos x}{\sin x} - 1)\sin x = 0 $
С учетом ОДЗ ($ \sin x \ne 0 $), раскрываем скобки:
$ \cos x - \sin x = 0 $
$ \cos x = \sin x $
Разделив обе части на $ \sin x $ (что возможно, т.к. $ \sin x \ne 0 $), получаем:
$ \ctg x = 1 $
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

9.21 a) $ \frac{x^2 - 5x + 6}{\sqrt{2x - 5}} = 0; $

B) $ \frac{x^2 - x + 72}{\sqrt{5 - x}} = 0; $

б) $ \frac{x^2 + 5x - 6}{\sqrt{x + 2}} = 0; $

Г) $ \frac{x^2 - x + 72}{\sqrt{2 - x}} = 0. $

а) Исходное уравнение: $ \frac{x^2 - 5x + 6}{\sqrt{2x - 5}} = 0 $.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 = 0 \\ \sqrt{2x - 5} \neq 0 \end{cases} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$ 2x - 5 > 0 $
$ 2x > 5 $
$ x > 2.5 $
Теперь решим уравнение числителя: $ x^2 - 5x + 6 = 0 $.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни уравнения: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 3 $.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию ОДЗ ($ x > 2.5 $):
- Корень $ x_1 = 2 $ не удовлетворяет условию, так как $ 2 \ngtr 2.5 $.
- Корень $ x_2 = 3 $ удовлетворяет условию, так как $ 3 > 2.5 $.
Следовательно, у уравнения есть только один корень.
Ответ: 3.

б) Исходное уравнение: $ \frac{x^2 + 5x - 6}{\sqrt{x + 2}} = 0 $.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 + 5x - 6 = 0 \\ \sqrt{x + 2} \neq 0 \end{cases} $
Найдем ОДЗ. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$ x + 2 > 0 $
$ x > -2 $
Решим уравнение числителя: $ x^2 + 5x - 6 = 0 $.
Найдем дискриминант: $ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $.
Корни уравнения:
$ x_1 = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6 $
$ x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 $
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию ОДЗ ($ x > -2 $):
- Корень $ x_1 = -6 $ не удовлетворяет условию, так как $ -6 \ngtr -2 $.
- Корень $ x_2 = 1 $ удовлетворяет условию, так как $ 1 > -2 $.
Следовательно, у уравнения есть только один корень.
Ответ: 1.

в) Исходное уравнение: $ \frac{x^2 - x + 72}{\sqrt{5 - x}} = 0 $.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 - x + 72 = 0 \\ \sqrt{5 - x} \neq 0 \end{cases} $
Найдем ОДЗ. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$ 5 - x > 0 $
$ x < 5 $
Решим уравнение числителя: $ x^2 - x + 72 = 0 $.
Найдем дискриминант: $ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 1 - 288 = -287 $.
Так как дискриминант $ D < 0 $, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Числитель дроби никогда не равен нулю.
Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

г) Исходное уравнение: $ \frac{x^2 - x + 72}{\sqrt{2 - x}} = 0 $.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 - x + 72 = 0 \\ \sqrt{2 - x} \neq 0 \end{cases} $
Найдем ОДЗ. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$ 2 - x > 0 $
$ x < 2 $
Решим уравнение числителя: $ x^2 - x + 72 = 0 $.
Как и в пункте в), найдем дискриминант: $ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 1 - 288 = -287 $.
Так как $ D < 0 $, уравнение числителя не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором числитель обращается в ноль.
Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.