Номер 9.20, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.20, страница 251.

Условие.

9.20 a) $\sin x (\operatorname{tg} x - 1) = 0;$

Б) $\operatorname{tg} x (\sin x - 1) = 0;$

В) $(\operatorname{tg} x + 1) \cos x = 0;$

Г) $(\operatorname{ctg} x - 1) \sin x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дано уравнение $ \sin x (\tg x - 1) = 0 $.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом существуют.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется существованием тангенса: $ \cos x \ne 0 $, то есть $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

1) $ \sin x = 0 $.
Решением этого уравнения является $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ. При $ x = \pi k $, $ \cos(\pi k) = (-1)^k \ne 0 $. Следовательно, эти корни являются решениями исходного уравнения.

2) $ \tg x - 1 = 0 $.
$ \tg x = 1 $.
Решением этого уравнения является $ x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z} $.
Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ. При $ x = \frac{\pi}{4} + \pi m $, $ \cos(\frac{\pi}{4} + \pi m) = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \ne 0 $. Следовательно, эти корни также являются решениями.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем ответ.

Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $; $ x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z} $.

б)

Дано уравнение $ \tg x (\sin x - 1) = 0 $.

ОДЗ: $ \cos x \ne 0 $, то есть $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Рассмотрим два случая:

1) $ \tg x = 0 $.
Решением этого уравнения является $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $ \cos(\pi k) = (-1)^k \ne 0 $.

2) $ \sin x - 1 = 0 $.
$ \sin x = 1 $.
Решением этого уравнения является $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.
Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ. При $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m $, $ \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 0 $. Эти значения не входят в ОДЗ, так как при них $ \tg x $ не определен. Следовательно, это посторонние корни.

Таким образом, решением исходного уравнения являются только корни из первого случая.

Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в)

Дано уравнение $ (\tg x + 1)\cos x = 0 $.

ОДЗ: $ \cos x \ne 0 $, то есть $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Поскольку в ОДЗ $ \cos x \ne 0 $, мы не можем приравнивать этот множитель к нулю, так как при $ \cos x = 0 $ выражение $ \tg x $ не определено. Следовательно, для нахождения решений необходимо, чтобы первый множитель был равен нулю.

$ \tg x + 1 = 0 $
$ \tg x = -1 $

Решением этого уравнения является $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $ \cos(-\frac{\pi}{4} + \pi k) = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \ne 0 $.

Другой способ решения — преобразование:
$ (\frac{\sin x}{\cos x} + 1)\cos x = 0 $
Раскрывая скобки с учетом ОДЗ, получаем:
$ \sin x + \cos x = 0 $
Так как $ \cos x \ne 0 $, делим обе части на $ \cos x $:
$ \tg x + 1 = 0 \implies \tg x = -1 $.
$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г)

Дано уравнение $ (\ctg x - 1)\sin x = 0 $.

ОДЗ определяется существованием котангенса: $ \sin x \ne 0 $, то есть $ x \ne \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Аналогично предыдущему пункту, множитель $ \sin x $ не может быть равен нулю, так как это нарушает ОДЗ (выражение $ \ctg x $ было бы не определено).

Следовательно, приравниваем к нулю первый множитель:

$ \ctg x - 1 = 0 $
$ \ctg x = 1 $

Решением этого уравнения является $ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $ \sin(\frac{\pi}{4} + \pi k) = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \ne 0 $.

Другой способ решения — преобразование:
$ (\frac{\cos x}{\sin x} - 1)\sin x = 0 $
С учетом ОДЗ ($ \sin x \ne 0 $), раскрываем скобки:
$ \cos x - \sin x = 0 $
$ \cos x = \sin x $
Разделив обе части на $ \sin x $ (что возможно, т.к. $ \sin x \ne 0 $), получаем:
$ \ctg x = 1 $
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.