Номер 9.53, страница 262 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.53, страница 262.

Условие.

Решите неравенство (9.53—9.64);

9.53 а) $(1 - x) \lg (x + 2) < 0;$

б) $(2 - x) \log_{0.5} (x + 3) > 0;$

в) $(x - 3) \log_{5} (5 - x) < 0;$

г) $(4 + x) \log_{0.2} (3 - x) > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $(1 - x)\lg(x + 2) < 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x + 2 > 0 \implies x > -2$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2, \infty)$.

2. Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули каждого множителя:
$1 - x = 0 \implies x = 1$.
$\lg(x + 2) = 0 \implies x + 2 = 10^0 \implies x + 2 = 1 \implies x = -1$.

3. Отметим на числовой прямой точки $x = -1$ и $x = 1$, а также учтем ОДЗ $x > -2$. Это разбивает область допустимых значений на три интервала: $(-2, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, \infty)$.

4. Определим знак произведения $f(x) = (1 - x)\lg(x + 2)$ на каждом интервале:
- При $x \in (1, \infty)$, например $x=8$: $1-8 = -7 < 0$, $\lg(8+2) = \lg(10) = 1 > 0$. Произведение $(-)(+) = (-)$, то есть $f(x) < 0$.
- При $x \in (-1, 1)$, например $x=0$: $1-0 = 1 > 0$, $\lg(0+2) = \lg(2) > 0$. Произведение $(+)(+) = (+)$, то есть $f(x) > 0$.
- При $x \in (-2, -1)$, например $x=-1.5$: $1-(-1.5) = 2.5 > 0$, $\lg(-1.5+2) = \lg(0.5) < 0$. Произведение $(+)(-) = (-)$, то есть $f(x) < 0$.

5. Неравенство требует, чтобы произведение было меньше нуля ($<0$), поэтому выбираем интервалы со знаком "минус".
Решением является объединение интервалов: $x \in (-2, -1) \cup (1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (1, \infty)$.

б) $(2 - x) \log_{0.5}(x + 3) > 0$

1. ОДЗ: $x + 3 > 0 \implies x > -3$. ОДЗ: $x \in (-3, \infty)$.

2. Нули множителей:
$2 - x = 0 \implies x = 2$.
$\log_{0.5}(x + 3) = 0 \implies x + 3 = (0.5)^0 \implies x + 3 = 1 \implies x = -2$.

3. Отметим точки $x = -2$ и $x = 2$ на числовой прямой с учетом ОДЗ $x > -3$. Интервалы: $(-3, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, \infty)$.

4. Определим знак произведения $f(x) = (2 - x) \log_{0.5}(x + 3)$ на каждом интервале:
- При $x \in (2, \infty)$, например $x=5$: $2-5 = -3 < 0$, $x+3 = 8 > 1$. Так как основание логарифма $0.5 < 1$, то $\log_{0.5}(8) < 0$. Произведение $(-)(-) = (+)$, то есть $f(x) > 0$.
- При $x \in (-2, 2)$, например $x=1$: $2-1 = 1 > 0$, $x+3 = 4 > 1$. $\log_{0.5}(4) < 0$. Произведение $(+)(-) = (-)$, то есть $f(x) < 0$.
- При $x \in (-3, -2)$, например $x=-2.5$: $2-(-2.5) = 4.5 > 0$, $x+3 = 0.5$. $\log_{0.5}(0.5) = 1 > 0$. Произведение $(+)(+) = (+)$, то есть $f(x) > 0$.

5. Неравенство требует, чтобы произведение было больше нуля ($>0$), поэтому выбираем интервалы со знаком "плюс".
Решение: $x \in (-3, -2) \cup (2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (2, \infty)$.

в) $(x - 3) \log_5(5 - x) < 0$

1. ОДЗ: $5 - x > 0 \implies x < 5$. ОДЗ: $x \in (-\infty, 5)$.

2. Нули множителей:
$x - 3 = 0 \implies x = 3$.
$\log_5(5 - x) = 0 \implies 5 - x = 5^0 \implies 5 - x = 1 \implies x = 4$.

3. Отметим точки $x = 3$ и $x = 4$ на числовой прямой с учетом ОДЗ $x < 5$. Интервалы: $(-\infty, 3)$, $(3, 4)$, $(4, 5)$.

4. Определим знак произведения $f(x) = (x - 3) \log_5(5 - x)$ на каждом интервале:
- При $x \in (4, 5)$, например $x=4.5$: $x-3 = 1.5 > 0$, $5-x = 0.5$. Так как $0 < 0.5 < 1$, то $\log_5(0.5) < 0$. Произведение $(+)(-) = (-)$, то есть $f(x) < 0$.
- При $x \in (3, 4)$, например $x=3.5$: $x-3 = 0.5 > 0$, $5-x = 1.5 > 1$. $\log_5(1.5) > 0$. Произведение $(+)(+) = (+)$, то есть $f(x) > 0$.
- При $x \in (-\infty, 3)$, например $x=0$: $x-3 = -3 < 0$, $5-x = 5 > 1$. $\log_5(5) = 1 > 0$. Произведение $(-)(+) = (-)$, то есть $f(x) < 0$.

5. Неравенство требует, чтобы произведение было меньше нуля ($<0$), поэтому выбираем интервалы со знаком "минус".
Решение: $x \in (-\infty, 3) \cup (4, 5)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup (4, 5)$.

г) $(4 + x) \log_{0.2}(3 - x) > 0$

1. ОДЗ: $3 - x > 0 \implies x < 3$. ОДЗ: $x \in (-\infty, 3)$.

2. Нули множителей:
$4 + x = 0 \implies x = -4$.
$\log_{0.2}(3 - x) = 0 \implies 3 - x = (0.2)^0 \implies 3 - x = 1 \implies x = 2$.

3. Отметим точки $x = -4$ и $x = 2$ на числовой прямой с учетом ОДЗ $x < 3$. Интервалы: $(-\infty, -4)$, $(-4, 2)$, $(2, 3)$.

4. Определим знак произведения $f(x) = (4 + x) \log_{0.2}(3 - x)$ на каждом интервале:
- При $x \in (2, 3)$, например $x=2.5$: $4+x = 6.5 > 0$, $3-x = 0.5$. Так как $0 < 0.5 < 1$ и основание логарифма $0.2 < 1$, то $\log_{0.2}(0.5) > 0$. Произведение $(+)(+) = (+)$, то есть $f(x) > 0$.
- При $x \in (-4, 2)$, например $x=0$: $4+x = 4 > 0$, $3-x = 3 > 1$. $\log_{0.2}(3) < 0$. Произведение $(+)(-) = (-)$, то есть $f(x) < 0$.
- При $x \in (-\infty, -4)$, например $x=-5$: $4+x = -1 < 0$, $3-x = 8 > 1$. $\log_{0.2}(8) < 0$. Произведение $(-)(-) = (+)$, то есть $f(x) > 0$.

5. Неравенство требует, чтобы произведение было больше нуля ($>0$), поэтому выбираем интервалы со знаком "плюс".
Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (2, 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (2, 3)$.