Номер 9.57, страница 262 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.57, страница 262.

Условие.

9.57 a) $\frac{\log_2 (x - 3)}{\log_{0,5} (x + 2)} > 0;$

б) $\frac{\log_{0,3} (x - 3)}{\lg(x + 4)} > 0;$

В) $\frac{\log_{0,2} (x + 2)}{\log_5 (3 - x)} > 0;$

Г) $\frac{\log_{0,25} (2 - x)}{\log_4 (x - 4)} < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим неравенство $\frac{\log_2 (x - 3)}{\log_{0.5} (x + 2)} > 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю. $$ \begin{cases} x - 3 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ \log_{0.5} (x + 2) \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x > -2 \\ x + 2 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x > -2 \\ x \neq -1 \end{cases} $$ Пересечением этих условий является $x > 3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (3, +\infty)$.

2. Воспользуемся методом рационализации. На ОДЗ знак исходного неравенства совпадает со знаком неравенства: $$ \frac{(2-1)((x-3)-1)}{(0.5-1)((x+2)-1)} > 0 $$ Упростим выражение: $$ \frac{1 \cdot (x-4)}{-0.5 \cdot (x+1)} > 0 $$ $$ \frac{x-4}{x+1} < 0 $$ Знак неравенства изменился на противоположный, так как мы умножили обе части на отрицательное число $-0.5$.

3. Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x = 4$ и $x = -1$. Наносим их на числовую ось и определяем знаки на интервалах.

Решением неравенства является интервал $(-1, 4)$.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $$ (-1, 4) \cap (3, +\infty) = (3, 4) $$ Ответ: $x \in (3, 4)$.

б) Решим неравенство $\frac{\log_{0.3} (x - 3)}{\lg (x + 4)} > 0$.

1. Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x - 3 > 0 \\ x + 4 > 0 \\ \lg (x + 4) \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x > -4 \\ x + 4 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x > -4 \\ x \neq -3 \end{cases} $$ Пересечением этих условий является $x > 3$. ОДЗ: $x \in (3, +\infty)$.

2. Применим метод рационализации (учитывая, что $\lg$ - это логарифм по основанию 10): $$ \frac{(0.3-1)((x-3)-1)}{(10-1)((x+4)-1)} > 0 $$ $$ \frac{-0.7 \cdot (x-4)}{9 \cdot (x+3)} > 0 $$ Разделим обе части на отрицательное число $\frac{-0.7}{9}$, изменив знак неравенства: $$ \frac{x-4}{x+3} < 0 $$

3. Решим неравенство методом интервалов. Корни: $x=4$ и $x=-3$.

Решением является интервал $(-3, 4)$.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $$ (-3, 4) \cap (3, +\infty) = (3, 4) $$ Ответ: $x \in (3, 4)$.

в) Решим неравенство $\frac{\log_{0.2} (x + 2)}{\log_5 (3 - x)} > 0$.

1. Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x + 2 > 0 \\ 3 - x > 0 \\ \log_5 (3 - x) \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x < 3 \\ 3 - x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x < 3 \\ x \neq 2 \end{cases} $$ ОДЗ: $x \in (-2, 2) \cup (2, 3)$.

2. Применим метод рационализации: $$ \frac{(0.2-1)((x+2)-1)}{(5-1)((3-x)-1)} > 0 $$ $$ \frac{-0.8 \cdot (x+1)}{4 \cdot (2-x)} > 0 $$ $$ \frac{-0.2 \cdot (x+1)}{2-x} > 0 $$ Разделим на $-0.2$, изменив знак неравенства: $$ \frac{x+1}{2-x} < 0 $$ Умножим знаменатель на $-1$ и снова изменим знак неравенства: $$ \frac{x+1}{x-2} > 0 $$

3. Решим неравенство методом интервалов. Корни: $x=-1$ и $x=2$.

Решением является объединение интервалов $(-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $$ ((-2, 2) \cup (2, 3)) \cap ((-\infty, -1) \cup (2, +\infty)) $$ Пересечение первого интервала ОДЗ с решением: $(-2, 2) \cap ((-\infty, -1) \cup (2, +\infty)) = (-2, -1)$.
Пересечение второго интервала ОДЗ с решением: $(2, 3) \cap ((-\infty, -1) \cup (2, +\infty)) = (2, 3)$.
Объединяя результаты, получаем: $(-2, -1) \cup (2, 3)$.
Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (2, 3)$.

г) Решим неравенство $\frac{\log_{0.25} (2 - x)}{\log_4 (x - 4)} < 0$.

1. Найдем ОДЗ. Требуется одновременное выполнение условий: $$ \begin{cases} 2 - x > 0 \\ x - 4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x > 4 \end{cases} $$ Система не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно меньше 2 и больше 4. Область допустимых значений является пустым множеством ($x \in \emptyset$).

2. Так как не существует значений $x$, при которых выражение в левой части неравенства определено, то неравенство не имеет решений.
Ответ: $\emptyset$ (нет решений).