Номер 9.66, страница 265 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.66, страница 265.

Условие.

9.66 Докажите справедливость утверждений 1–4.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Так как в условии не приведены сами утверждения, будут доказаны стандартные свойства степени с рациональным показателем, которые обычно доказываются в данном разделе учебника. Доказательства приводятся для любых $a > 0$, $b > 0$ и любых рациональных чисел $p, q$.

1. Доказательство свойства $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$

Пусть рациональные числа $p$ и $q$ представлены в виде дробей: $p = \frac{m}{n}$ и $q = \frac{k}{l}$, где $m, k$ — целые числа, а $n, l$ — натуральные числа. По определению степени с рациональным показателем, $a^{p} = a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$. Чтобы выполнить умножение, приведем показатели к общему знаменателю $nl$: $p = \frac{m}{n} = \frac{ml}{nl}$ $q = \frac{k}{l} = \frac{kn}{nl}$ Теперь рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $a^p \cdot a^q = a^{\frac{ml}{nl}} \cdot a^{\frac{kn}{nl}}$. Используя определение степени с рациональным показателем, запишем это выражение через корни: $a^{\frac{ml}{nl}} \cdot a^{\frac{kn}{nl}} = \sqrt[nl]{a^{ml}} \cdot \sqrt[nl]{a^{kn}}$. Согласно свойству произведения корней одинаковой степени ($\sqrt[r]{x} \cdot \sqrt[r]{y} = \sqrt[r]{xy}$), получаем: $\sqrt[nl]{a^{ml} \cdot a^{kn}}$. По свойству произведения степеней с одинаковым основанием для целых показателей ($x^s \cdot x^t = x^{s+t}$), выражение под корнем равно $a^{ml+kn}$: $\sqrt[nl]{a^{ml+kn}}$. Возвращаясь к определению степени с рациональным показателем, имеем: $a^{\frac{ml+kn}{nl}}$. Преобразуем показатель степени: $\frac{ml+kn}{nl} = \frac{ml}{nl} + \frac{kn}{nl} = \frac{m}{n} + \frac{k}{l} = p+q$. Таким образом, мы показали, что $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$.

Ответ: Утверждение доказано.

2. Доказательство свойства $a^p : a^q = a^{p-q}$

Пусть $p = \frac{m}{n}$ и $q = \frac{k}{l}$, где $m, k \in \mathbb{Z}$, а $n, l \in \mathbb{N}$. Приведем показатели к общему знаменателю $nl$: $p = \frac{ml}{nl}$ и $q = \frac{kn}{nl}$. Рассмотрим левую часть равенства: $a^p : a^q = \frac{a^p}{a^q} = \frac{a^{\frac{ml}{nl}}}{a^{\frac{kn}{nl}}}$. По определению степени с рациональным показателем: $\frac{\sqrt[nl]{a^{ml}}}{\sqrt[nl]{a^{kn}}}$. Используя свойство частного корней одинаковой степени ($\frac{\sqrt[r]{x}}{\sqrt[r]{y}} = \sqrt[r]{\frac{x}{y}}$), получаем: $\sqrt[nl]{\frac{a^{ml}}{a^{kn}}}$. По свойству частного степеней с одинаковым основанием для целых показателей ($\frac{x^s}{x^t} = x^{s-t}$), имеем: $\sqrt[nl]{a^{ml-kn}}$. По определению степени с рациональным показателем, это выражение равно: $a^{\frac{ml-kn}{nl}}$. Преобразуем показатель: $\frac{ml-kn}{nl} = \frac{ml}{nl} - \frac{kn}{nl} = \frac{m}{n} - \frac{k}{l} = p-q$. Таким образом, $a^p : a^q = a^{p-q}$.

Ответ: Утверждение доказано.

3. Доказательство свойства $(a^p)^q = a^{pq}$

Пусть $p = \frac{m}{n}$ и $q = \frac{k}{l}$, где $m, k \in \mathbb{Z}$, а $n, l \in \mathbb{N}$. Рассмотрим левую часть равенства: $(a^p)^q = (a^{\frac{m}{n}})^{\frac{k}{l}}$. По определению степени с рациональным показателем: $(a^{\frac{m}{n}})^{\frac{k}{l}} = \sqrt[l]{(a^{\frac{m}{n}})^k}$. Рассмотрим выражение в скобках под корнем: $(a^{\frac{m}{n}})^k = (\sqrt[n]{a^m})^k$. По свойству возведения корня в степень ($(\sqrt[r]{x})^s = \sqrt[r]{x^s}$), получаем: $\sqrt[n]{(a^m)^k}$. По свойству возведения степени в степень для целых показателей ($(x^s)^t = x^{st}$), имеем: $\sqrt[n]{a^{mk}}$. Подставим это выражение обратно в исходное: $\sqrt[l]{\sqrt[n]{a^{mk}}}$. По свойству корня из корня ($\sqrt[s]{\sqrt[r]{x}} = \sqrt[sr]{x}$), получаем: $\sqrt[ln]{a^{mk}}$. По определению степени с рациональным показателем, это равно: $a^{\frac{mk}{ln}}$. Показатель степени можно переписать как: $\frac{mk}{ln} = \frac{m}{n} \cdot \frac{k}{l} = pq$. Таким образом, мы доказали, что $(a^p)^q = a^{pq}$.

Ответ: Утверждение доказано.

4. Доказательство свойства $(ab)^p = a^p b^p$

Пусть $p = \frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}$, а $n \in \mathbb{N}$. Рассмотрим левую часть равенства: $(ab)^p = (ab)^{\frac{m}{n}}$. По определению степени с рациональным показателем: $(ab)^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{(ab)^m}$. Используя свойство возведения произведения в степень для целых показателей ($(xy)^s = x^s y^s$): $\sqrt[n]{a^m b^m}$. По свойству корня из произведения ($\sqrt[r]{xy} = \sqrt[r]{x} \sqrt[r]{y}$): $\sqrt[n]{a^m} \cdot \sqrt[n]{b^m}$. Применяя определение степени с рациональным показателем к каждому множителю, получаем: $a^{\frac{m}{n}} \cdot b^{\frac{m}{n}} = a^p b^p$. Таким образом, $(ab)^p = a^p b^p$.

Ответ: Утверждение доказано.