Номер 10.3, страница 267 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.3, страница 267.

Условие.

10.3 Какими условиями задается множество M, на котором равносильны ($a > 0$, $a \ne 1$) уравнения:

а) $\frac{f(x)}{g(x)} = \varphi(x)$ и $f(x) = g(x) \varphi(x)$;

б) $\sqrt{f(x)} = \varphi(x)$ и $f(x) = \varphi^2(x)$;

в) $\sqrt{f(x)}\sqrt{g(x)} = \varphi(x)$ и $\sqrt{f(x) g(x)} = \varphi(x)$;

г) $\frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}} = \varphi(x)$ и $\sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}} = \varphi(x)$;

д) $f(x) + \sqrt{g(x)} = \varphi(x) + \sqrt{g(x)}$ и $f(x) = \varphi(x)$;

е) $(\sqrt{f(x)})^2 = \varphi(x)$ и $f(x) = \varphi(x)$;

ж) $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ и $f(x) = g(x)$;

з) $\log_a f(x) + \log_a g(x) = \varphi(x)$ и $\log_a (f(x)g(x)) = \varphi(x)$;

и) $\log_a f(x) - \log_a g(x) = \varphi(x)$ и $\log_a \frac{f(x)}{g(x)} = \varphi(x)$;

к) $\frac{1}{\log_{f(x)} a} = \varphi(x)$ и $\log_a f(x) = \varphi(x)$;

л) $\log_a (f(x))^2 = \varphi(x)$ и $2\log_a |f(x)| = \varphi(x)$;

м) $2\log_a f(x) = \varphi(x)$ и $\log_a (f(x))^2 = \varphi(x)$;

н) $a^{\log_a f(x)} = \varphi(x)$ и $f(x) = \varphi(x)$;

о) $\frac{1 - \operatorname{tg}^2 x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = \varphi(x)$ и $\cos 2x = \varphi(x)$;

п) $\frac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x} = \varphi(x)$ и $\operatorname{tg} 2x = \varphi(x)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Два уравнения называются равносильными на множестве $M$, если на этом множестве они имеют одинаковые множества решений. Чтобы найти множество $M$, на котором данная пара уравнений равносильна, необходимо сравнить их области допустимых значений (ОДЗ) и преобразования, связывающие их.

а)

Первое уравнение $\frac{f(x)}{g(x)} = \varphi(x)$ имеет область допустимых значений (ОДЗ), заданную условием $g(x) \neq 0$. На этой области его можно преобразовать во второе уравнение $f(x) = g(x) \varphi(x)$ путем умножения обеих частей на $g(x)$. Второе уравнение определено и в тех случаях, когда $g(x)=0$, что может приводить к появлению посторонних корней, которых нет у первого уравнения. Для равносильности необходимо, чтобы множества решений совпадали, что достигается при ограничении на ОДЗ первого уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условием $g(x) \neq 0$.

б)

Первое уравнение $\sqrt{f(x)} = \varphi(x)$. Его ОДЗ: $f(x) \ge 0$ (подкоренное выражение) и $\varphi(x) \ge 0$ (так как арифметический квадратный корень неотрицателен). Второе уравнение $f(x) = \varphi^2(x)$. При возведении первого уравнения в квадрат получается второе. Это преобразование является равносильным только при условии $\varphi(x) \ge 0$. Для решений второго уравнения условие $f(x) \ge 0$ выполняется автоматически, так как $f(x)=\varphi^2(x) \ge 0$. Таким образом, для равносильности необходимо дополнительное условие $\varphi(x) \ge 0$.

Ответ: Множество $M$ задается условием $\varphi(x) \ge 0$.

в)

Первое уравнение $\sqrt{f(x)}\sqrt{g(x)} = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$.Второе уравнение $\sqrt{f(x)g(x)} = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x)g(x) \ge 0$.Область определения второго уравнения шире: она включает случай, когда $f(x) \le 0$ и $g(x) \le 0$. На ОДЗ первого уравнения тождество $\sqrt{f(x)}\sqrt{g(x)} = \sqrt{f(x)g(x)}$ верно, и уравнения совпадают. Для равносильности уравнений необходимо ограничиться ОДЗ первого, более "узкого", уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условиями $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$.

г)

Первое уравнение $\frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}} = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x) \ge 0$ и $g(x) > 0$.Второе уравнение $\sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}} = \varphi(x)$. ОДЗ: $\frac{f(x)}{g(x)} \ge 0$ (что включает $g(x) \neq 0$).Область определения второго уравнения шире: она включает случай, когда $f(x) \le 0$ и $g(x) < 0$. На ОДЗ первого уравнения тождество $\frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}} = \sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}}$ верно. Для равносильности уравнений необходимо работать на множестве, где выполняются условия ОДЗ первого уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условиями $f(x) \ge 0$ и $g(x) > 0$.

д)

Первое уравнение $f(x) + \sqrt{g(x)} = \varphi(x) + \sqrt{g(x)}$. ОДЗ: $g(x) \ge 0$. На этой области можно вычесть $\sqrt{g(x)}$ из обеих частей, получая второе уравнение $f(x) = \varphi(x)$. Второе уравнение не имеет ограничения на $g(x)$. Для равносильности необходимо, чтобы решения второго уравнения удовлетворяли ОДЗ первого.

Ответ: Множество $M$ задается условием $g(x) \ge 0$.

е)

Первое уравнение $(\sqrt{f(x)})^2 = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x) \ge 0$. На этой области $(\sqrt{f(x)})^2 = f(x)$, и уравнение превращается во второе: $f(x) = \varphi(x)$. Второе уравнение само по себе не требует неотрицательности $f(x)$. Для равносильности необходимо, чтобы решения второго уравнения удовлетворяли ОДЗ первого.

Ответ: Множество $M$ задается условием $f(x) \ge 0$.

ж)

Первое уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$. ОДЗ: $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$. На этой области в силу монотонности логарифмической функции уравнение равносильно второму уравнению $f(x) = g(x)$. Второе уравнение может иметь решения, для которых $f(x)$ и $g(x)$ не положительны. Для равносильности необходимо ограничиться ОДЗ первого уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условиями $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.

з)

Первое уравнение $\log_a f(x) + \log_a g(x) = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.Второе уравнение $\log_a (f(x)g(x)) = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x)g(x) > 0$.ОДЗ второго уравнения шире, так как включает случай $f(x) < 0$ и $g(x) < 0$. На ОДЗ первого уравнения свойство логарифма $\log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a(f(x)g(x))$ выполняется, и уравнения совпадают. Для равносильности нужно работать на ОДЗ первого уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условиями $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.

и)

Первое уравнение $\log_a f(x) - \log_a g(x) = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.Второе уравнение $\log_a \frac{f(x)}{g(x)} = \varphi(x)$. ОДЗ: $\frac{f(x)}{g(x)} > 0$.Ситуация аналогична предыдущему пункту. ОДЗ второго уравнения шире, так как включает случай $f(x) < 0$ и $g(x) < 0$. На ОДЗ первого уравнения свойство логарифма $\log_a f(x) - \log_a g(x) = \log_a \frac{f(x)}{g(x)}$ выполняется. Равносильность достигается на ОДЗ первого уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условиями $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.

к)

Первое уравнение $\frac{1}{\log_{f(x)} a} = \varphi(x)$. ОДЗ: основание логарифма $f(x) > 0$ и $f(x) \neq 1$.Второе уравнение $\log_a f(x) = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x) > 0$.На ОДЗ первого уравнения по формуле перехода к новому основанию $\frac{1}{\log_{f(x)} a} = \log_a f(x)$, поэтому уравнения совпадают. Однако ОДЗ второго уравнения шире, так как оно определено при $f(x)=1$ (тогда $\log_a 1 = 0$), в то время как первое уравнение при $f(x)=1$ не определено. Для равносильности нужно работать на ОДЗ первого уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условиями $f(x) > 0$ и $f(x) \neq 1$.

л)

Первое уравнение $\log_a ((f(x))^2) = \varphi(x)$. ОДЗ: $(f(x))^2 > 0$, что равносильно $f(x) \neq 0$.Второе уравнение $2\log_a |f(x)| = \varphi(x)$. ОДЗ: $|f(x)| > 0$, что также равносильно $f(x) \neq 0$.Тождество $\log_a(b^2) = 2\log_a|b|$ верно для всех $b \neq 0$. Так как области определения уравнений и сами выражения на этой области совпадают, уравнения равносильны на всей их общей области определения.

Ответ: Множество $M$ задается условием $f(x) \neq 0$.

м)

Первое уравнение $2\log_a f(x) = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x) > 0$.Второе уравнение $\log_a ((f(x))^2) = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x) \neq 0$.ОДЗ второго уравнения шире, так как включает отрицательные значения $f(x)$. На ОДЗ первого уравнения ($f(x)>0$) верно тождество $2\log_a f(x) = \log_a((f(x))^2)$, и уравнения совпадают. Для равносильности нужно ограничиться ОДЗ первого уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условием $f(x) > 0$.

н)

Первое уравнение $a^{\log_a f(x)} = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x) > 0$. На этой области по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a f(x)} = f(x)$, и уравнение превращается во второе: $f(x) = \varphi(x)$. Второе уравнение не требует положительности $f(x)$. Для равносильности необходимо, чтобы решения второго уравнения удовлетворяли ОДЗ первого.

Ответ: Множество $M$ задается условием $f(x) > 0$.

о)

Первое уравнение $\frac{1 - \tg^2 x}{1 + \tg^2 x} = \varphi(x)$. ОДЗ: $\tg x$ должен быть определен, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.Второе уравнение $\cos 2x = \varphi(x)$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$.Тригонометрическое тождество $\cos 2x = \frac{1 - \tg^2 x}{1 + \tg^2 x}$ верно на всей области определения $\tg x$. Таким образом, уравнения равносильны на ОДЗ первого уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условием $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ (или $\cos x \neq 0$).

п)

Первое уравнение $\frac{2 \tg x}{1 - \tg^2 x} = \varphi(x)$. ОДЗ: $\tg x$ должен быть определен ($x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$) и знаменатель не равен нулю $1 - \tg^2 x \neq 0$ ($x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}$).Второе уравнение $\tg 2x = \varphi(x)$. ОДЗ: $2x \neq \frac{\pi}{2} + m\pi \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{m\pi}{2}, m \in \mathbb{Z}$.ОДЗ второго уравнения шире, так как $\tg 2x$ определен при $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ (равен 0), а $\tg x$ в этих точках не определен. Тождество $\tg 2x = \frac{2 \tg x}{1 - \tg^2 x}$ верно на ОДЗ первого уравнения. Следовательно, для равносильности необходимо работать на ОДЗ первого уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условиями $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ и $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}$ (или $\cos x \neq 0$ и $\cos 2x \neq 0$).